Enunciado

The Fitzhugh-Nagumo model for the electrical impulse in a neuron states that, in the absence of relaxation effects, the electrical potential in a neuron v t   obeys the differential equation

d v d t =   - v [ v 2 - 1 + a v + a ]

where a is a positive constant such that 0 <   a <   1

Passo 1

  1. Para que valores de v   ,   v   está descarregado, ou seja   d v d t = 0
  2. Bem, temos uma questão interdisciplinar, sobre o potencial elétrico de um neurônio. Primeiramente temos que manipular nossa equação

    0 =   - v [ v 2 - 1 + a v + a ]

    Só aqui já achamos um valor v pois temos aquela regrinha de matemática básica

    a * b = 0

    a = 0 ,     o u   b = 0

    Então temos que v pode ser

    v = 0

    Ou

    v 2 - 1 + a v + a = 0

    v - 1 v - a = 0

    Ou seja podemos ter

    v = 1

    v = a

    v = 0

    Passo 2

  3. Para que valores de v   ,   v   está crescendo
  4. Para nosso Potencial estar crescendo, temos o seguinte requisito

    d v d t > 0

    Então agora precisamos achar esse intervalo

    - v v 2 - 1 + a v + a > 0

    A mesma regra que eu falei la em cima vale aqui também

    - v > 0

    v < 0

    E também que :

    v 2 - 1 + a v + a > 0

    v - 1 v - a > 0  

    v   > a

    Passo 3

  5. Para que valores de v   ,   v   está decrescendo

Para nosso Potencial estar decrescendo, temos o seguinte requisito

d v d t < 0

Então agora precisamos achar esse intervalo

- v v 2 - 1 + a v + a < 0

A mesma regra que eu falei la em cima vale aqui também

- v < 0

v > 0

E também:

v - 1 v - a < 0  

v < a

Se formos montar uma tabela ela ficaria assim

Se formos plotar um gráfico seria assim

Prontinho. Conseguimos demonstrar que é solução. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução : )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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