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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 2

A population grows according to the given logistic equation, where t is measured in weeks.

(a) What is the carrying capacity? What is the value of k?(b) Write the solution of the equation.(c) What is the population after 10 weeks?

d p d t = 0,0 2 p - 0,0004 P ²

p 0 = 4 0

Passo 1

O que temos aqui para resolver a questão a) é saber olhar para a expressão e encontrar significado. A expressão padrão para crescimento populacional é

d p d t = k p 1 - p M

Então temos essa expressão

d p d t = 0,02 p - 0,0004 P ²

Vamos organizar ela para ficar mais fácil podermos enxergar os dados

d p d t = 0,02 p 1 - 0,02 P

d p d t = 0,02 p 1 - 1 50 P

Logo comparando podemos perceber que

k = 0 , 02

M = 50

Onde M é capacidade de suporte

Passo 2

b) O próprio Stewart nos da essa solução, através de integração por partes, dizendo que

p t = M 1 + A e - k t

Onde

A = M + C C

E c   é nossa constante arbitraria de integração indefinida. Vamos plotar os valores

,

A = 50 C + 1

p t = 50 1 + 50 C + 1 e - 0,0 2 t

Temos dados de contorno. Então podemos utilizar isso para descobrir C

p 0 =   4 0  

4 0 = 50 1 + 50 C + 1 * 1

1 + 50 C + 1 = 5 4

50 C = 5 4 - 2

C = 50 - 3 4

C =   - 200 / 3

Show! Podemos agora jogar esse valor na nossa função

p t = 50 1 + - 200 3 + 1 e - 0,0 2 t

p t = 5 0 1 - 50 200 3 e - 0,0 2 t

p t = 50 1 + ( - 150 200 + 1 ) e - 0,02 t

p t = 50 1 + 50 200 e - 0,02 t

Passo 3

c) Qual a população depois de 10 semanas?

Temos então que fazer p   10

p t = 50 1 + 50 200 e - 0,02 t

p 10 = 50 1 + 50 200 e - 0 , 2

p   10 = 41.5

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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