lim x->0^+ (x^2 - 3x + 2) / (x^3 - 2x^2)

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 .

Perceba que se aplicarmos o limite

l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 = 0 0

Ou seja, uma indeterminação. Quando isso acontece, temos que nos virar para ajeitar a função de modo que a indeterminação não aconteça mais.

Passo 2

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 3 x + 2 , teremos que   x = 2   e   x = 1 são raízes, então reescreveremos x 2 - 3 x + 2 =   x - 2 x - 1 .

E, colocando x 2 em evidência no denominador, ou seja x 2 ( x - 2 ) , temos que x 3 - 2 x 2 =   x 2 ( x - 2 ) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 =   l i m x → 0 + x - 2 x - 1 x 2 x - 2

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

l i m x → 0 + x - 2 x - 1 x 2 x - 2 =   l i m x → 0 + ( x - 1 ) x 2

Passo 4

Perceba que se substituirmos o limite na expressão do passo anterior, o numerador não se anularia e restaria - 1 < 0 , enquanto o numerador se anularia. Ou seja, temos um limite infinito. Vamos analisar se + ∞   ou - ∞ .

Perceba que o denominador, é sempre positivo apesar de x > 0 , já que o   x está elevado ao quadrado.

Juntando essas informações, podemos fazer a análise,

n e g a t i v o p o s i t i v o = n e g a t i v o

Sendo assim,

l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 =   - ∞

Resposta

l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 =   - ∞

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