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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 57 a

underset(x -> 0^+)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2)

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 .

Perceba que se aplicarmos o limite

underset(x -> 0^+)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) = (0)/(0)

Ou seja, uma indeterminação. Quando isso acontece, temos que nos virar para ajeitar a função de modo que a indeterminação não aconteça mais.

Passo 2

Perceba que, usando Bháskara em x^2 - 3 x + 2 , teremos que x = 2 e x = 1 são raízes, então reescreveremos x^2 - 3 x + 2 = (x - 2) (x - 1) .

E, colocando x^2 em evidência no denominador, ou seja x^2 ( x - 2 ) , temos que x^3 - 2 x^2 = x^2 ( x - 2 ) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

underset(x -> 0^+)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) = underset(x -> 0^+)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x^2 (x - 2))

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

underset(x -> 0^+)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x^2 (x - 2)) = underset(x -> 0^+)(l i m) (( x - 1 ))/(x^2)

Passo 4

Perceba que se substituirmos o limite na expressão do passo anterior, o numerador não se anularia e restaria - 1 < 0 , enquanto o numerador se anularia. Ou seja, temos um limite infinito. Vamos analisar se + oo ou - oo .

Perceba que o denominador, é sempre positivo apesar de x > 0 , já que o x está elevado ao quadrado.

Juntando essas informações, podemos fazer a análise,

(n e g a t i v o)/(p o s i t i v o) = n e g a t i v o

Sendo assim,

underset(x -> 0^+)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) = - oo

Resposta

underset(x -> 0^+)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) = - oo

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h x = sgn ⁡ x - U x Lembrando que sgn ⁡ x é definido como sgn ⁡ x = - 1 s e x0 0 s e x = 0 1 s e x0 E U x é a função escada definida por U x = 0 s e x0 1 s e x ≥ 0 Ache, se existirem: a ) lim x → 0 +
Dada f (x) = {[[3,x,+,2,s,e,x,,4],[5,x,+,k,s,e,4,=,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - 4)(lim) f (x) existe.
Dada f (x) = {[[k,x,-,3,s,e,x,=,-,1],[x^2,+,k,s,e,-,1,,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - - 1)(lim) f (x) existe.
Sejaf (x) = {[[-,1,s,e,x,,0],[1,s,e,0,,x]]) Mostre que underset(x - 0)(lim) f (x) não existe, porém underset(x - 0)(lim) |f (x)| existe.
Dada f x = x 2 + 3 s e x ≤ 1 x + 1 s e 1x E g x = x 2 s e x ≤ 1 2 s e 1x a ) Mostre que lim x → 1 - ⁡ f x e lim x → 1 + ⁡ f x ambos existe, mas não são iguais e, portanto, lim x → 1 ⁡ f x não existe.