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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 9

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) int_0^(2 pi) ( r^2 cos^2 (theta) + z^2 ) r d theta d r d z

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) int_0^(2 pi) ( r^3 cos^2 (theta) + r z^2 ) d theta d r d z

À princípio parece difícil, mas cola comigo que vamos que que não é :P

Passo 2

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) ( r^3 int_0^(2 pi) cos^2 (theta) d theta + r z^2 int_0^(2 pi) d theta ) d r d z

Lembremos que cos^2 (theta) = (1)/(2) (1 + cos (2 theta))

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) ( (r^3)/(2) int_0^(2 pi) cos (2 theta) d theta + (r^3)/(2) int_0^(2 pi) d theta + r z^2 int_0^(2 pi) d theta ) d r d z

Usando que c o s int (a x) = (1)/(a) s e n ( a x )

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) ( (r^3)/(2) ( (1)/(2) [ s e n (2 theta )]_0^(2 pi) + (r^3)/(2) [theta]_0^(2 pi) + r z^2 [theta]_0^(2 pi) ) d r d z

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) pi (r^3 + 2 r z^2) d r d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

Passo 3

int_0^1 int_0^(sqrt(z)) pi (r^3 + 2 r z^2) d r d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^1 ( pi int_0^(sqrt(z)) r^3 d r + 2 pi z^2 int_0^(sqrt(z)) r d r ) d z

int_0^1 ((pi)/(4) [r^4]_0^(sqrt(z)) + pi z^2 [r^2]_0^(sqrt(z))) d z

int_0^1 pi ((z^2)/(4) + z^3) d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

((pi)/(4) int_0^1 z^2 d z + pi int_0^1 z^3 d z)

(pi)/(12) [z^3]_0^1 + (pi)/(4) [z^4]_0^1

(pi)/(3)

Viu só que fácil :P

Resposta

(pi)/(3)

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