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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 6

int_0^(2 pi) int_0^1 int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) (r^2 s e n^2 (theta) + z^2) d z r d r d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^1 int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) r (r^2 s e n^2 (theta) + z^2) d z d r d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^(2 pi) int_0^1 ( r^3 s e n^2 (theta) int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) d z + int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) r z^2 d z ) d r d theta

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^1 (r^3 s e n^2 (theta) [z]_(- (1)/(2))^((1)/(2)) + (r)/(3) [z^3]_(- (1)/(2))^((1)/(2))) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^1 (r^3 s e n^2 (theta) + (r)/(12)) d r d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^(2 pi) ( s e n^2 ( theta ) int_0^1 r^3 d r + (1)/(12) int_0^1 r d r ) d theta

int_0^(2 pi) ( (s e n^2 (theta))/(4) [r^4]_0^1 + (1)/(24) [r^4]_0^1 ) d theta

int_0^(2 pi) ((s e n^2 (theta))/(4) + (1)/(24)) d theta

Passo 3

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

((1)/(4) int_0^(2 pi) s e n^2 (theta) d theta + (1)/(24) int_0^(2 pi) d theta)

Usando que s e n^2 (x) = (1)/(2) (1 + c o s (2 x))

(1)/(4) int_0^(2 pi) (1)/(2) (1 + c o s (2 theta)) d theta + (1)/(24) [theta]_0^(2 pi)

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

(1)/(4) ((1)/(2) int_0^(2 pi) d theta + int_0^(2 pi) c o s (2 theta) d theta) + (1)/(24) [theta]_0^(2 pi)

Temos que int c o s (a x) d x = - (1)/(a) sen (a x) + C

(1)/(4) ((1)/(2) [theta]_0^(2 pi) + (1)/(2) [sen (2 theta)]_0^(2 pi)) + (1)/(24) [theta]_0^(2 pi)

((pi)/(4) + (pi)/(12)) = (3 pi + pi)/(12) = (pi)/(3)

Resposta

(pi)/(3)

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