Exercícios de Mudança para Coordenadas Cilíndricas - Lista de Exercícios Resolvida

Seja a região interior à esfera que satisfaz e .

1. Descreva em coordenadas cilíndricas.
2. Supondo que a densidade é , determine a massa .

Calcule a integral tripla

Onde é a interseção dos sólidos , e

Calcule , onde é o sólido limitado pelas superfícies e .

Calcule a integral tripla

Onde é a região limitada pelas superfícies de equações e .

Determine o volume do sólido , que está contido no cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide .

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies , e .

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies , e .

Dica: .

Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos plano e .

Questão 4. Dado o sólido

Determinar o valor do parâmetro tal que o volume de seja igual a .

Seja o sólido que resulta da interseção das regiões , , , e , calcular o volume de .

Calcule o volume do sólido , sabendo que é a região contida em cujos pontos satisfazem e , sendo uma constante maior que zero.

Calcule a integral tripla

Onde é a região limitada pelas superfícies de equações e .

4. Seja o sólido interior ao cone abaixo do plano e considere a integral

a) Forneça uma expressão para em coordenadas cilíndricas.

Calcule a massa do sólido dado por

Com densidade

Ache a massa do sólido limitado pelas superfícies , com densidade

1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido limitado por:

1. , , , , no primeiro octante.

Determine o volume do sólido formado pela esfera centrada na origem de raio com o cilindro de equação com um número real maior que zero.

1. Calcule a massa do sólido: , e , sendo a densidade dada por .

1. Calcule , onde é o sólido limitado pelas superfícies e .

1. Considere a integral iterada

1. Expresse em coordenadas cilíndricas e calcule o seu valor.

Calcule o volume do sólido dado por e

1. Calcule a massa do sólido , limitado pelas superfícies , e , se a densidade é dada por .

Seja o volume do sólido comum às esferas e . Expresse (sem calcular) o volume de em coordenadas cilíndricas na ordem .

Considere o cone .

b) Usando obrigatoriamente uma integral tripla, calcule o volume do sólido que se encontra no primeiro octante e é limitado pela superfície e o plano .

Use integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies e .

Usando uma integral tripla, calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies e .

Calcule

Onde é a região do espaço limitada lateralmente pelo cilindro , superiormente pelo plano e inferiormente pelo paraboloide

A seção reta do interior de uma taça é descrita pela equação , onde corresponde ao fundo da taça e à sua altura

Note: Como a taça tem simetria axial, usamos coordenadas cilíndricas!

(a) Esboce a seção reta e determine sua área;

(b) Determine o volume contido na taça.

Seja a seguinte região de delimitada pela superfície de equação , o gráfico da função e o plano .

1. Esboce a região
2. Calcule o volume da região

Calcule onde é a região de interna ao cilindro , externa ao cilindro , limitada acima pelo semicone e abaixo pelo paraboloide .

a)

b)

c)

d)

e)

Questão 3. Calcule a integral tripla

onde

Calcule o volume da região dada por e .

Calcule

Onde é o sólido limitado pelos paraboloides

Calcule a integral tripla , em que .

Questão 3: Calcule o volume do sólido limitado por

E

Questão 2: Usando coordenadas cilíndricas calcule

Onde é a região situada acima do plano , e abaixo do cone

3) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

b) onde:

e

Considere o sólido delimitado pelo cilindo e pelos planos e . Sabendo que a densidade em um ponto de é igual à distância do ponto até o eixo , determine a massa de .

Converta a integral abaixo para uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.

Calcule , onde é o sólido limitado pelas superfícies e

Seja o sólido determinado pelas determinado pelas desigualdades uma unção contínua em e Considere as seguintes afirmações

A(s) afirmação(ões) verdadeira(s) para toda função como acima é(são):

Seja .

Considere a região compacta do espaço, onde .

Considere a integral tripla:

1. Expresse na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas (Neste item não é pedido o cálculo da integral).
2. Calcule , em termos de .
3. Seja . E, seja:

1. Esboçe .
2. Encontre o número real , tal que .

Considere as constantes positivas e com e:

Seja a integral tripla

a) Para esboce o desenho de . Escreva na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas . Não é necessário calcular a integral!

b) Para , calcule em função de .

Seja

1. Represente graficamente o conjunto
2. Usando coordenadas cilíndricas, calcule

Considere o campo e seja a superfície do cone dado por com .

Calcule o volume do cone sólido dado por

Usando a integral tripla.

3. Considere o sólido delimitado pelo paraboloide e o plano .

1. Esboce
2. Calcule o volume de .

Calcule a integral tripla

Onde é limitado pelas superfícies e .

Calcule o volume do corpo sólido definido como

Sabendo que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo z,

determine a massa do sólido cortado do cilindro espesso pelo cone e delimitado inferiormente por .

(Capítulo 15.8 – Exercício 18)

Utilize coordenadas cilíndricas

Calcule , onde é limitado pelo paraboloide e o plano .

(Capítulo 15.7 – Exercício 20) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelos paraboloides e

(Capítulo 15.8 – Exercício 20) Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule , onde está delimitado pelos planos e e pelos cilindros e .

(Capítulo 15.8 – Exercício 30) Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

(Capítulo 15.7 – Exercício 23)

a) Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro pelos planos e como uma integral tripla.

b) Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10) ou sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).

Calcule a integral tripla.

Onde é limitado pelo cilindro e pelos planos , e no primeiro octante.

(Capítulo 15.8 – Exercício 24) Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera .

(Capítulo 15.8 – Exercício 19) Utilize coordenadas cilíndricas

Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .

Calcule a integral tripla.

Onde é delimitado pelo cilindro parabólico e e pelos planos e

(Capítulo 15.7 – Exercício 22) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e

O volume do sólido interno ao cilindro , e limitado pelas superfícies e é:

Escolha uma:

a)

b)

c)

d)

e)

8) A integral tripla

fornece o volume do sólido , onde

1. é o sólido limitado pelo plano e pelas superfícies e .
2. é o sólido limitado pelo plano e pelas superfícies e
3. é o sólido limitado pelo plano e pela superfície .
4. é o sólido limitado pelo plano e pelas superfícies e .
5. é o sólido limitado pelo plano e pelas superfícies e .

Calcule o sólido limitado por limitado pelo paraboloide pelo plano

Determine o volume do sólido entre os cilindros e e os cones e

Encontre a massa da região sólida limitada pelas superfícies e se a densidade do sólido é .

Questão 4: Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo plano , inferiormente pelo plano e lateralmente pelo cilindro .

Encontre o volume dos sólidos limitado pelos cilindros e .

Calcule

Onde .

Encontre o volume da região sólida limitada abaixo pelo plano , lateralmente pelo cilindro e acima pelo paraboloide .

Usando uma integral tripla, calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies e .

Usando uma integral tripla, calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies e .

Calcule o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .

Sejam as superfícies dadas pelas equações implícitas

e seja a região limitada pelas superfícies e que contém a origem.

a) Faça o esboço da região

b) Calculea seguinte integral tripla:

Calcule a integral

onde é a região limitada pelo cilindro

Calcule a integral

onde é a região entre os cilindros e limitada pelos planos e por

Utilize as coordenadas esféricas

e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

Onde }

onde R é a região contida dentro do cilindro e , entre os planos z=0 até z=x+y+3

Utilize as coordenadas cilíndricas

e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

Onde

onde R é a região contida dentro do cilindro entre os planos z=-5 até z=4

O volume do sólido determinado pelas desigualdades é:

Calcule o valor da integral tripla , em que está acima do plano , abaixo do plano e dentro do cilindro , conforme mostra a figura abaixo.

Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides e .

Use a integral tripla para encontrar o volume dentro de acima de e abaixo de .

Calcule a integral tripla