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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 2

int_0^(2 pi) int_0^3 int_((r^2)/(3))^(sqrt(18 - r^2)) d z r d r d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^3 int_((r^2)/(3))^(sqrt(18 - r^2)) r d z d r d theta

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^3 ( r [z]_((r^2)/(3))^(sqrt(18 - r^2)) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^3 r (sqrt(18 - r^2) - (r^2)/(3)) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^3 (r sqrt(18 - r^2) - (r^3)/(3)) d r d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^(2 pi) ( int_0^3 r sqrt(18 - r^2) d r - int_0^3 (r^3)/(3) d r ) d theta

Passo 3

Façamos para a primeira parte de integral de d r , u = 18 - r^2 , logo d u = - 2 r d r assim d r = - (d u)/(2 r) e quando x = 0 , u = 18 e para x = 3 , u = 9 . De forma que fica:

int_0^(2 pi) ( int_(18)^9 - (sqrt(u))/(2) d u - int_0^3 (r^3)/(3) d r ) d theta

Usando para a primeira parte de d r que agora é d u a propriedade de que int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x . Assim:

int_0^(2 pi) ( - (1)/(2) int_9^(18) - sqrt(u) d u - int_0^3 (r^3)/(3) d r ) d theta

int_0^(2 pi) ((1)/(2) ((2)/(3) [u^((3)/(2))]_9^(18)) - (1)/(3) ((1)/(4) [r^4]_0^3)) d theta

int_0^(2 pi) 9 ((2 sqrt(2) - 1) - (3)/(4)) d theta

9 ((sqrt(2) - 1) - (3)/(4)) [theta]_0^(2 pi)

18 pi ((2 sqrt(2) - 1) - (3)/(4))

Resposta

18 pi ((2 sqrt(2) - 1) - (3)/(4))

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int_0^(2 pi) int_0^(pi) int_0^(((1 - cos (varphi))/(2))) rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta
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