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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 1

int_0^(2 pi) int_0^1 int_r^(sqrt(2 - r^2)) d z r d r d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^1 int_r^(sqrt(2 - r^2)) r d z d r d theta

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^1 (r [z]_r^(sqrt(2 - r^2))) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^1 r (sqrt(2 - r^2) - r) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^1 (r (sqrt(2 - r^2) - r^2)) d r d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^(2 pi) ( int_0^1 r sqrt(2 - r^2) d r - int_0^1 r^2 d r ) d theta

Passo 3

Façamos na primeira parte da integral de d r u = 2 - r^2 , logo d u = - 2 r d r , de forma que d r = - (d u)/(2 r) Temos que quando r = 0 , u = 2 e quando r = 1 , u = 1 . Assim temos:

int_0^(2 pi) ( int_2^1 - (sqrt(u))/(2) d u - int_0^1 r^2 d r ) d theta

Usando para a primeira parte de d r que agora é d u a propriedade de que int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x . Assim:

int_0^(2 pi) ( - (1)/(2) int_1^2 - sqrt(u) d u - int_0^1 r^2 d r ) d theta

int_0^(2 pi) ((1)/(2) ((2)/(3) [u^((3)/(2))]_1^2) - (1)/(3) [r^3]_0^1) d theta

int_0^(2 pi) (2 (sqrt(2) - 1))/(3) d theta

(2 (sqrt(2) - 1))/(3) [theta]_0^(2 pi)

(4 pi)/(3) (sqrt(2) - 1)

Resposta

(4 pi)/(3) (sqrt(2) - 1)

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