Uma tina cheia de água tem 10 m de comprimento e sua secção transversal tem a forma de um triângulo isósceles com 2 m de largura em cima e 2 m de altura. Qual o trabalho realizado para se bombear a água para fora da tina por cima da borda do tanque?

Vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover uma camada fina de água de espessura . Pensamos na coluna como uma pilha de camadas bem finas.

Nosso volume da camada tem uma base retangular com comprimento m, uma espessura e uma largura dependente da altura já que conforme esvazia são formados diferentes triângulos na seção.

Essa variação é uma função linear e pode ser descoberta pela equação de uma reta a partir de dois pontos:

(0,2) a ponta do triângulo, a parte mais funda da tina;

(2,0) o topo da tina, onde tem sua base mais larga;

Fazendo um sistema:

Logo nossa largura é dada por

Agora, para encontrar o trabalho da camada temos:

O trabalho requerido para levantar cada camada é igual a força vezes a distância a ser percorrida , distância até a borda. Assim nossa equação fica:

Como queremos esvaziar toda a tina, o nosso intervalo de irá de 0 a 2, a profundidade da tina.

Agora vem a menina dos olhos desse exercício, queremos bombear todas as camadas dessa tina e para isso usamos a integral no trabalho:

Simbolicamente o se transforma no da integral. Podemos extrair as constantes, sabendo que a m/s² e a densidade da água kg/m³, podemos substituir os valores:

Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:

E por fim fazer a subtração com os limites da integral: