Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 48
Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área
Passo 1
Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo da área, mas sabendo que o perímetro deve ser igual a 10 cm.
Então neste caso a condição será:
Onde a, b e c são os lados do triângulo, certo?
Segundo a fórmula de Heron, a área de um triângulo pode ser calculada em função dos seus lados e do semiperímetro:
Onde:
Substituindo a nossa condição:
A área vai ficar:
Então, para maximizar a área devermos maximizar a função:
Nós teremos o seguinte problema de otimização:
Passo 2
Colocando na fórmula de Lagrange:
Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:
Igualando as duas primeiras equações nós achamos:
Se igualamos a segunda e a terceira achamos:
Colocando na última equação:
Sendo assim, todos os lados do triângulo são iguais e medem .
Tranquilinha?