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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 2

Determine ( x , y ) com x^2 + y^2 <= 1 , que maximiza 2 x + y

Passo 1

Perceba que queremos maximizar a função f (x , y) = 2 x + y .

Utilizando que x^2 + y^2 = 1 implica que y = sqrt(1 - x^2) Analisaremos o máximo da função de uma variável

g (x) = 2 x + sqrt(1 - x^2)

Daí, derivando

g^' (x) = 2 + (1)/(4 sqrt(1 - x^2)) * 2 x = (4 sqrt(1 - x^2) - x)/(2 sqrt(1 - x^2))

Vamos analisar os pontos críticos, ou seja, g^' (x) = 0

(4 sqrt(1 - x^2) - x)/(2 sqrt(1 - x^2)) = 0

Precisamos que

4 sqrt(1 - x^2) - x = 0

Ou seja,

x = 4 sqrt(1 - x^2)

Elevando ao quadrado,

x^2 = 16 - 16 x^2

17 x^2 = 16

x = (4)/(sqrt(17)) = 4 (sqrt(17))/(17)

Substituindo,

y = (1)/(2 sqrt(17)) = (sqrt(17))/(34)

Como para valores dentro do intervalo ( - oo , 4 (sqrt(17))/(17) ) , f ' ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 4 (sqrt(17))/(17) , oo ) , f ' ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente) temos que x = 4 (sqrt(17))/(17) é um ponto de máximo no intervalo para f .

Resposta

que x = 4 (sqrt(17))/(17) é um ponto de máximo para f .

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36. Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classi