Trace a curva e calcule seu comprimento.

46. x = e^t - t, y = 4 * e^(t/2), -8 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes expressões de uma curva parametrizada:

x = e t - t

y = 4 e t 2

Em que t pertence ao seguinte intervalo:

- 8 ≤ t ≤ 3

Queremos esboçar a curva que tem as equações paramétricas dadas.

Para fazer isso, vamos criar uma tabelinha de valores que relacionam t ,   x   e   y , aí poderemos plotar esses pontos no gráfico.

Já para calcular o seu comprimento L , basta saber que o comprimento é dado pela seguinte integral:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Com isso, basta derivarmos as equações e aplicar nessa expessão!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos plotar o gráfico...

Para isso, vamos utilizar alguns valores dentro do intervalo dado de t e verificar os valores para x e y .

Assim, quando t = 0 , por exemplo, teremos x = e 0 - 0   = 1 e y = 4 e 0 = 4 .

Fazemos o mesmo para outros valores de   t , e montamos a seguinte tabela:

Show! Colocando esses pontos em um gráfico, obtemos:

Agora, traçando uma linha, obteremos a curva que desejamos:

Passo 3

Agora nós queremos calcular o comprimento dessa curva. Sabemos que o comprimento   L de uma curva pode ser calculado pela integral:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então mãos à obra! Vamos calcular d x d t e d y d t .

Para isso, sabemos que a derivada da exponencial é a própria exponencial. Com isso, poderemos calcular a primeira derivada:

x = e t - t ∴

d x d t = d d t e t - t ∴

d x d t =   e t - 1  

Aplicando o mesmo conhecimento, juntando com a Regra da Cadeia, podemos resolver a derivada de y :

y = 4 e t 2 ∴

d y d t = d d t 4 e t 2 ∴

d y d t = 2 e t 2

Passo 4

Assim, substituindo os valores na integral e simplificando, temos:

L =   ∫ - 8 3 ( e t - 1 ) 2 + 2 e t 2 2   d t ∴

L =   ∫ - 8 3 e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t   d t ∴

L =   ∫ - 8 3 e 2 t + 2 e t + 1   d t ∴

L =   ∫ - 8 3 e t + 1 2   d t ∴

L =   ∫ - 8 3 e t + 1   d t

Resolvendo a integral, temos:

L = [ e t + t ] - 8 3 t  

Aplicando os limites de integração:

L = e 3 + 3 - e - 8 - 8 ∴

L = e 3 - e - 8 + 11

Então o comprimento dessa curva é L = e 3 - e - 8 + 11

Resposta

L = e 3 - e - 8 + 1 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados