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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 58

Escreva, mas não calcule, uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

57. x = s e n 2 t ,       y = s e n   3 t ,         0 ≤ t ≤ π / 3

Passo 1

Precisamos escrever uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x .

Sabemos que a área de uma superfície é

S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que

d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Vamos primeiro dar uma olhada na região que precisamos trabalhar:

Então basicamente vamos girar essa superfície em torno do eixo x . Precisamos então calcular as derivadas das parametrizações e precisamos depois disso montar a integral.

Passo 2

Vamos começar então com a derivada de x :

d x d t = d sin 2 ⁡ t d t

Como a gente tem uma composição de funções aqui, a gente vai precisar utilizar a regra da cadeia:

d x d t = d d u u 2 ⋅ d d t sin ⁡ t

d x d t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t

Beleza, agora a gente vai partir para a derivada de y :

d y d t = d sin ⁡ 3 t d t

Por termos outra composição de função, a gente precisa aplicar a regra da cadeia aqui:

d y d t = d 3 t d t ⋅ d d u sin ⁡ u

d y d t = 3 t ⋅ cos ⁡ 3 t

Então a gente já pode começar a montar a integral:

S = ∫ a b 2 π y   d s

d s =   d x d t 2 + d y d t 2

d s = 4 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + 9 t 2 cos 2 ⁡ 3 t

S = ∫ a b 2 π sin ⁡ 3 t 4 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + 9 t 2 cos 2 ⁡ 3 t d t

Resposta

S = ∫ a b 2 π sin ⁡ 3 t 4 sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + 9 t 2 cos 2 ⁡ 3 t d t

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