Unicidade de soluções

Se ambas as funções deriváveis y = F(x) e y = G(x) resolvem o problema de valor inicial

em um intervalo I , deve F(x) = G(x) para cada x em I ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Como o enunciado diz que as duas funções são deriváveis e resolvem o P.V.I. num intervalo I , portanto ambas possuem o mesmo valor da primeira derivada ( d y / d x ).

Assim, de acordo com o Corolário 2 do Teorema do Valor Médio, existe uma constante C que difere uma função da outra, tal que F x = G x + C para todo x .

Para as condições do P.V.I. dado neste exercício, tem-se uma constante em que

F x 0 = G x 0 + C

e, então,

C =   F x 0 - G x 0 = y 0 - y 0 = 0

Logo, para cada x em I :

F x = G x

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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