Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 60
Uma partícula move-se de acordo com os dados que seguem. Encontre a posição da partícula.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Essa questão fala pra gente que uma partícula move-se de acordo com os seguintes dados:
E teremos que encontrar uma equação para a posição da partícula.
Aqui temos uma aplicação das derivadas e integrais. E precisaremos de algumas informações importantes para prosseguir com essa resolução.
Então pega essa aqui:
Se temos a função da posição , chegamos à velocidade derivando essa função em relação a .
Logo, a função posição é a antiderivada da velocidade. E podemos dizer que:
Assim, se queremos saber qual a função da posição da partícula, vamos então aplicar a antiderivada a , usando a condição inicial de posição inicial zero para achar .
Belezinha até aqui?!
Vem que te mostro como fazer isso!
Passo 2
Se temos a função da posição , chegamos à velocidade derivando em relação a
Logo, chegamos à posição a partir da velocidade fazendo o caminho contrário: a posição é a antiderivada da velocidade.
Vamos então aplicar a antiderivada a , usando a condição inicial para achar .
Como
Podemos transformá-la em uma potênia de expoente fracionário. Assim:
E lembrando que a antiderivada de uma potência de , com , é dada pela seguinte fórmula:
E teremos:
Ou melhor:
Passo 3
Usando a condição inicial, completamos a função. O enunciado nos diz que
Assim:
O que nos dará:
Então:
Então temos a função da posição:
Prontinho.