Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 61
Uma partícula move-se de acordo com os dados que se seguem. Encontre a posição da partícula.
Passo 1
Oi! Tudo certinho? 😊
O enunciado quer que a gente encontre a posição de uma partícula que está se movendo e, para isso, ele nos dá algumas informações a respeito desse movimento.
Vamos olhar cada informação com calma? Bora lá!
- A função é a função que dá a aceleração dessa partícula.
- O valor é a posição inicial da partícula. Fica ligado que a função (t) é a função que representa a posição da partícula no tempo , ou seja, a função que queremos encontrar.
- O valor é a velocidade inicial da partícula.
Como a questão fala de movimento, posição, velocidade e aceleração, que tal relembrarmos de alguns conceitos físicos que serão úteis? Não se preocupa que não vai ser nada muito difícil.
- A função velocidade é a derivada da função posição :
- A função aceleração é a derivada da função velocidade . Opa, então ela é a segunda derivada da função posição :
Então, a função posição é uma função que tem como derivada a função velocidade , e a função velocidade v é uma função que tem como derivada a função aceleração certo?
Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que as funções e são as antiderivada das funções e , respectivamente. Não se lembra o que é isso? Tudo bem! Eu vou relembrar rapidinho pra você 😊.
Uma antiderivada (ou primitiva) da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Em termos matemáticos, isso quer dizer o seguinte:
Dessa forma, para resolvermos a questão, precisamos responder duas perguntas:
- Qual é a função que tem como derivada a função ? Ou seja, quem é a antiderivada de ?
- Qual é a função que tem como derivada a função que encontrei para a pergunta anterior? Ou seja, quem é a antiderivada de ?
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- A antiderivada de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Pronto! Agora temos tudo que precisamos 🎉!
Vamos encontrar essas antiderivadas?
Passo 2
Primeiro vamos calcular a antiderivada da aceleração dada por:
Temos uma função polinomial, então usando a regra da potência para cada termo:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos
então
A função encontrada é uma antiderivada geral da função , pois observe que como é uma constante qualquer, então temos várias funções satisfazendo
Mas qual dessas funções é a que queremos 🤔?
Sabemos que . Então, como
vamos ter que
Subtituindo em . temos que a antiderivada da função que queremos é:
Bem, agora já sabemos a função velocidade da partícula. Vamos encontrar a sua antiderivada também. Espia só o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a antiderivada da velocidade encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a regra da potência para cada um dos seus termos:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos
então
Novamente, encontramos a antiderivada geral de pois pode ser qualquer constante.
Mas, sabemos que . Como
então,
Subtituindo na função encontrada, temos que a antiderivada da função que queremos é:
Achamos a função pedida no enunciado 🤩!
Resposta
A posição de uma partícula com aceleração dada pela função
velocidade inicial e posição inicial é dada pela função
Para conferir que a resposta está certa, derive duas vezes a função e veja que você obtém a função do enunciado, pois sabemos que vale:
Além disso, avalie a função em e veja que o valor é o mesmo dado no enunciado.