Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 61
Se x unidades forem demandadas quando p for o preço unitário, ache uma equação envolvendo p e x (a equação da demanda) de uma mercadoria para a qual a função rendimento marginal é dada por .
Passo 1
O rendimento marginal é a primeira derivada da função rendimento total R. Assim, C pode ser obtido de R’ por antidiferenciação. Assim que determinarmos a função rendimento total, a constante que sempre aparece no final pode ser calculada se conhecermos o custo da produção de um número específico de unidades da mercadoria. Como o enunciado não menciona nada a respeito disso, podemos partir da verdade que a função rendimento total é zero quando o número de unidades produzidas é zero!
Agora vamos montar a função rendimento total.
Passo 2
Resolvendo a integral temos:
Passo 3
Uma vez obtida a função de rendimento total, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,
Passo 4
O enunciado pede uma equação envolvendo o preco unitário p e a quantidade de mercadoria x. Sabemos que o rendimento é dado por . Assim, façamos essa igualdade.
Fazendo o MMC do lado direito da igualdade, temos que o denominador passa a ser .
Resposta
O resultado final é: