Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 38
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
E aí, tudo certinho 😊? Queremos calcular o valor da integral
Isso parece uma tarefa complicada, né? Em um primeiro momento, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo.
🤔 Então como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?
Regra da Substituição:
Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela.
💡 Vamos relembrar de uma propriedade da integral indefinida que vai nos ajudar a resolver essa questão.
- Regra da Potência: para qualquer a integral indefinida da função é a função
onde é uma constante qualquer.
Além disso, precisamos relembrar da seguinte derivada:
Pronto, temos tudo o que precisamos!
Vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão 😉.
Passo 2
Perceba que como
e a função também aparece no integrando de
então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Pela Regra da Potência, temos que
onde é uma constante qualquer.
Logo,
ou seja, temos que
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos! A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
ou seja, a integral do enunciado é dada por
Resposta
A integral é dada por:
onde C é uma constante qualquer.