Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 51
Calcule a integral definida.
Passo 1
E aí, galerinha! Bora resolver essa questão 😊?
Temos que calcular a integral definida
Expandir o termo é uma tarefa complicada, né? Apesar do integrando ser um polinômio, fica complicado saber a expressão certinha dele para usarmos as fórmulas dadas na Tabela de Integrais Indefinidas.
🤔 Bem, então como resolvemos essa questão?
Usando a Regra da Substituição para integrais definidas, que diz o seguinte:
Se for uma função contínua no intervalo e for contínua na imagem de então vale que
🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?
Precisamos escolher as funções e de maneira conveniente e reescrever a integral dada como uma mais simples, combinado?
Além disso, nessa integral mais simples vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e obter o seu valor.
🛠️ Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:
- Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função é contínua no intervalo então
onde é a primitiva da função , ou seja,
- Regra da Potência: para qualquer a integral indefinida da função é a função
onde é uma constante qualquer.
Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão! Vamos lá 😊!
Passo 2
Analisando com calma o integrando da integral
observamos que definindo
e
então
Além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por
Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:
onde
e
Portanto, temos que
ou seja, descobrimos que
com
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Vamos fazer isso no próximo passo 😉!
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental temos que
Mas, pela Regra da Potência, temos que
Bem, como:
- Em
- Em
Então,
e como descobrimos no Passo anterior que
a integral procurada vale
Resposta
O valor da integral é: