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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 6a

Usar

r > 0     e     0 ≤ θ ≤ 2 π

Para escrever os pontos P 1 3 , - 1 e P 2 - 2 ,   - 2 em coordenadas polares.

Passo 1

As coordenadas polares r ,   θ   podem ser transformadas em coordenadas cartesianas ( x , y ) pela seguinte substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Esses resultados podem ser concluídos pela definição de seno e cosseno. Observe a figura abaixo:

cos ⁡ θ = x r ⇒ x = r cos ⁡ θ

sin ⁡ θ = y r ⇒ y = r sin ⁡ θ

De forma análoga, as coordenadas cartesianas podem ser transformadas em coordenadas polares. Elevando ambos os membros das equações a cima ao quadrado, podemos escrever:

x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

y 2 = r 2 sin 2 ⁡ θ

Adicionando membro a membro, obtemos:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ⇒ x 2 + y 2 = r 2

Portanto:

r = ± x 2 + y 2  

Para calcular θ , podemos utilizar cos ⁡ θ = x r e sin ⁡ θ = y r , depois de calculado r .

Assim, para P 1 :

r > 0

r = 3 2 + - 1 2 = 4 = 2

cos ⁡ θ = 3 2

sin ⁡ θ = - 1 2

⇒ θ = - π 6   o u   θ = 11 π 6

Como 0 ≤ θ ≤ 2 π ⇒ θ = 11 π 2

2 , 11 π 6  

E para P 2 :

r > 0  

r = - 2 2 + - 2 2 = 4 = 2

cos ⁡ θ = - 2 2

sin ⁡ θ = - 2 2

⇒ θ = 5 π 4

2 , 5 π 4  

Resposta

P 1 = 2 , 11 π 6   e   P 2 = 2 , 5 π 4

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