Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 26

Use uma calculadora para avaliar a integral de linha correta até quatro casas decimais.

∫ C z ln ⁡ ( x + y ) d s   , onde C tem equações paramétricas x = 1 + 3 t   ,     y = 2 + t 2   ,     z = t 4   ,       - 1 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Faaaaala galerinha, tudo bem!? Vamos nessa!!!

Temos que determinar o valor em até quatro casas decimais utilizando calculadora da seguinte integral de linha:

∫ C z ln ⁡ x + y d s  

Onde, C tem equações paramétricas x = 1 + 3 t   ,     y = 2 + t 2   ,     z = t 4   ,       - 1 ≤ t ≤ 1 .

E agora?

A maior dificuldade dessa questão, consiste em montar a integral na forma parametrizada, certo? Porque vamos utilizar calculadora para resolver.

Logo, você terá que substituir x , y e z pelas parametrizações, e lembre-se que d s tem uma forma parametrizada também. Que é:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Assim, é só você montar a integral e utilizar uma calculadora de sua preferência que resolva integrais. Sugiro utilizar a calculadora online WolframAlpha.

Bora lá!!

Passo 2

Nosso objetivo é parametrizar a seguinte integral:

∫ C z ln ⁡ x + y d s  

Sabemos que:

x = 1 + 3 t   ,     y = 2 + t 2   ,     z = t 4   ,       - 1 ≤ t ≤ 1

E que d s é:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Agora vamos encontrar d s . E para isso é só fazer as derivadas e substituir na formula acima.

Fazendo isso, vamos ter:

d s = 3 2 + 2 t 2 + 4 t 3 2 d t

d s = 9 + 4 t 2 + 16 t 6 d t

Agora vamos montar a integral. Substituindo os valores vamos ter:

∫ - 1 1 t 4 ln ��� ( 1 + 3 t + 2 + t 2 )   9 + 4 t 2 + 16 t 6 d t

Simplificando um pouco, temos:

∫ - 1 1 t 4 ln ⁡ ( 3 + 3 t + t 2 )   9 + 4 t 2 + 16 t 6 d t

Utilizando o WolframAlpha com o input:

Integrate[t^4 ln⁡(3+3t+t^2) √(9+4t^2+16t^6 ),{t,-1,1}]

Obtemos como resposta: 1 , 7259

Resposta

1,7259

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma calculadora para avaliar a integral de linha correta até quatro casas decimais. ∫ C x y arctan ⁡ z d s, onde C tem equações paramétricas x = t 2, y = t 3, z = t, 0 ≤ t ≤ π 4
A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por x = 10 c o s t ,y = 10 s e n t . A altura da cerca na posição x , y é dada pela função h x , y = 4 + 0,01 ( x 2 - y 2 ) , portanto a altura varia 3
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 yd s C : x = c o st ,y = sin ⁡ t ,z = t ,0 ≤ t ≤ π / 2
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.