Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 13
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão pede pra gente ver se um campo vetorial é conservativo.
Se for, a gente precisa achar a função potencial , tal que:
Pra isso, vamos usar o rotacional, que para , é:
Vamos calcular essas derivadas parciais e encontrar o rotacional.
Nosso campo é
Então:
Se , o campo não é conservativo, e nossa questão acaba aqui.
Se , o campo é conservativo, e temos que achar a função . Dessa forma:
Pra descobrir essa função , vamos começar integrando uma dessas equações dos dois lados, por exemplo:
Como integramos em função de , a constante de integração vai ser uma função de , que são constantes pra essa integral. Pra achar ela, vamos fazer
E aí conseguimos encontrar a função .
Bora?
Passo 2
Vamos começar calculando o rotacional.
A primeira coordenada é:
Lembrando que quando derivamos em função de uma variável, as outras se mantém constantes. Então:
Então:
Passo 3
A segunda coordenada do :
Calculando:
E:
Passo 4
E a última coordenada:
Calculando as derivadas parciais:
Daí,
Como as três componentes deram zero:
E confirmamos que o campo é conservativo!
Passo 5
Agora vamos achar a função potencial !
Primeiro integrando em função de , considerando e como constante:
Como já falamos – a constante de integração é uma função de e , já que essas variáveis são constantes para essa integral.
Passo 6
Pra descobrir quem é esse , vamos primeiro fazer:
Como isso é igual a :
Ou seja, é constante em função de , e só depende de :
Passo 7
Agora derivando em função de :
Igualando a :
Ou seja, é uma constante, e achamos :
Resposta
é conservativo.