Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 15
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo bem?
A questão pede o valor da nossa integral de linha:
Sob a curva em que consiste nos segmentos de reta de a .
Uma integral de linha é como uma integral convencional que ao invés de integrarmos sobre um intervalo, vamos integrar sobre uma curva .
Para resolvermos essas integrais, precisamos parametrizar nossos valores de , , , e em função de . Depois, é só substituirmos na nossa integral e calcularmos normalmente seu valor. e são equações paramétricas da nossa linha .
Então, nossa resolução será feita primeiro encontrando as equações paramétricas e que iremos usar. Como temos uma reta no espaço podemos usar a parametrização:
Vamos passo a passo!
Passo 2
O problema nos da qual é a curva que devemos integrar, mas precisamos descobrir qual parametrização usar. Usando então a parametrização da reta no espaço, temos que para teremos:
Substituindo:
E:
Temos:
Subtraindo os pontos:
Multiplicando as coordenadas:
Assim, temos:
Quanto temos um segmento de reta parametrizado em , nossa variação é .
Calculando , temos que
Passo 3
Substituindo agora então na integral, chegamos que
Rearranjando os termos no integrando:
Integrando, chegamos em:
Aplicando os limites de integração:
Teremos: