Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.

f(x) = 9 - x^2; [0, 3]

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 3 n

x k * = 3 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 9 - 3 k n 2 3 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 9 - 9 k 2 n 2 3 n  

Vamos dar uma melhorada nisso:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 27 n - 27 k 2 n 3  

Separamos...

A = lim n → ∞ ⁡ 27 n ∑ k = 1 n 1 -   27 n 3 ∑ k = 1 n k 2

A = l i m n → ∞ 27 n n - 27 n 3 n n + 1 2 n + 1 6  

A = l i m n → ∞ 27 - 27 n 2 2 n 2 + n + 2 n + 1 6  

A =   l i m n → ∞ 27 - 54 6 - 27 6 n - 54 6 n - 27 6 n 2 ⏟ 0

A = 27 - 9 = 18

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da direita😊

Resposta

A = 18

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