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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 13

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

y * s e n ((1)/(y)) = 1 - x y

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[y * s e n ((1)/(y))]^' = [ 1 - x y ]^'

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

[y]^' * s e n ((1)/(y)) + y [s e n ((1)/(y))]^' = - ([x]^' y + x [y]^')

(d y)/(d x) * s e n ((1)/(y)) + y cos ((1)/(y)) * [(1)/(y)]^' = - (y + x * (d y)/(d x))

(d y)/(d x) * s e n ((1)/(y)) + y cos ((1)/(y)) * - (1)/(y^2) * (d y)/(d x) + x * (d y)/(d x) = - y

(s e n ((1)/(y)) - (cos ((1)/(y)))/(y) + x) * (d y)/(d x) = - y

(d y)/(d x) = - (y^2)/(y s e n ((1)/(y)) - cos ((1)/(y)) + x y)

Resposta

(d y)/(d x) = - (y^2)/(y s e n ((1)/(y)) - cos ((1)/(y)) + x y)

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