Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

y \* sen(1 / y) = 1 - xy

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

y ⋅ s e n 1 y ' = [ 1 - x y ] '

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

y ' ⋅ s e n 1 y + y s e n 1 y ' = - x ' y + x y '

d y d x ⋅ s e n 1 y + y cos ⁡ 1 y ⋅ 1 y ' = - y + x ⋅ d y d x

d y d x ⋅ s e n 1 y + y cos ⁡ 1 y ⋅ - 1 y 2 ⋅ d y d x + x ⋅ d y d x = - y

s e n 1 y - cos ⁡ 1 y y + x ⋅ d y d x = - y

d y d x = - y 2 y s e n 1 y - cos ⁡ 1 y + x y

Resposta

d y d x = - y 2 y s e n 1 y - cos ⁡ 1 y + x y

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