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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 17

Encontre d y / d x derivando implicitamente.

x y = 1 + x 2 y

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita.

x y = 1 + x 2 y

É pedido a derivada de y com relação a x que deve ser obtida por derivação implícita.

Tem ideia de como fazemos isso?

Assim, a resposta é dado tanto em função de x como de y (que depende implicitamente de x ).

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Para facilitar nossa vida, podemos usar uma formulinha para derivadas implícitas...

Se y é dado implicitamente em função de x , fazemos

d y d x = - F x F y

Onde F é a função F = 1 + x 2 y - x y (passando tudo da equação para um lado)

Saca só!

Passo 2

Para definir a função F , fazemos

x y = 1 + x 2 y → 1 + x 2 y - x y = 0

Ou seja, se F = 0

F = 1 + x 2 y - x y

Bora continuar!

Agora precisamos calcular a derivada de F em função de x e em função de y .

Vamos começar derivando em função de x . Pra isso consideramos y como uma constante.

F x = ∂ 1 + x 2 y - x y ∂ x = 2 x y - y 2 x y

OBS: Derivamos o termo x y pela regra da cadeia...

Agora derivamos em relação a y e tratamos x como uma constante...

F y = ∂ 1 + x 2 y - x y ∂ y = x 2 - x 2 x y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é só substituir F x e F y em d y d x ...

d y d x = - F x F y

Se F x = 2 x y - y 2 x y e F y = x 2 - x 2 x y ...

d y d x = - 2 x y - y 2 x y x 2 - x 2 x y

Vamos deixar tudo no mesmo denominador...

d y d x = - 2 x y 2 x y 2 x y - y 2 x y x 2 2 x y 2 x y - x 2 x y

d y d x = - 4 x y x y - y 2 x y 2 x 2 x y - x 2 x y

Assim podemos simplificar 2 x y no numerador e no denominador...

d y d x = - 4 x y x y - y 2 x 2 x y - x

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

d y d x = - 4 x y x y - y 2 x 2 x y - x

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