Enunciado

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x^2 y + x y^2 = 6

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x^2 y + x y^2]^' = [ 6 ] '

[x^2 y]^' + [x y^2]^' = 0

Aplicando a regra do produto, temos:

[x^2]^' y + x^2 [y]^' + [x]^' y^2 + x [y^2]^' = 0

2 x y + x^2 * 1 * (d y)/(d x) + y^2 + x * 2 y * (d y)/(d x) = 0

Reorganizando,

(d y)/(d x) * (x^2 + 2 x y) = - 2 x y - y^2

(d y)/(d x) = - (y^2 + 2 x y)/(x^2 + 2 x y)

Resposta

(d y)/(d x) = - (y^2 + 2 x y)/(x^2 + 2 x y)

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