Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 72
- Use a derivação implícita para encontrar se .
- Trace a curva da parte (a). O que você observa? Demonstre que o que você observa está correto.
- Em vista da parte (b), o que você pode dizer sobre a expressão para que você encontrou na parte (a)?
Passo 1
Fala meus queridões!
Nessa questão temos a seguinte expressão onde é dado implicitamente:
E nos é pedido para encontrar a sua derivada implicitamente.
Para isso basta derivar a equação de ambos os lados, sendo que sempre que você derivar um , tem que multiplicar por depois.
Além disso, podemos ver que temos ali uma regra do produto, pois temos a multiplicação de , daí basta usar a regra do produto.
Passo 2
- Derivando ambos os lados da equação:
- Para traçar a curva da letra a),vamos tentar reescrever a equação dada:
- A expressão para na parte (a) não tem sentido; isto é, como a equação na parte (a) não tem solução, ela não implica implicitamente defina uma função de e, portanto, não faz sentido considerar .
Temos que:
Isolando :
Passo 3
Daqui percebemos que para essa igualdade seja verdadeira, é preciso que e tenham sinais opostos, pois se tiverem o mesmo sinal, a expressão da esquerda certamente é um valor positivo e não igual a .
Para continuar a análise, vamos transformar o termo da esquerda em um produto notável:
Para isso, vou somar em ambos os lados da equação:
Convertendo o produto notável, temos:
Como o lado esquerdo da expressão é positivo, precisamos que o lado direito também seja, ou seja:
Para que isso ocorra, é necessário que tenha o mesmo sinal que , de forma que a sua multiplicação resulte num valor positivo (e maior que ).
Opa,então vimos anteriormente que e precisam ter sinais opostos e agora que e precisam ter o mesmo sinal, ou seja, não há valores de e que satisfaçam essas condições, pois elas são contraditórias.
Por conta disso, a expressão dada nos fornece um gráfico vazio, ou seja, não há pontos que satisfaçam a equação.
Passo 3
Resposta
Não há gráfico.
não tem sentido.