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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 56

Mostre que

underset(n -> oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n = e^x

Para qualquer x > 0

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos apenas que provar que underset(n -> oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n = e^x .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Temos que basicamente usar da manipulação algébrica para encontrar um caminho que nos leve até essa igualdade.

Veja só! 👀

Passo 2

Primeiramente, suponha uma função f que seja

f (z) = l n ( z )

Agora, tomaremos a derivada de f pela definição, então temos que

f^' (z) = underset(h -> 0)(lim) (f (z + h) - f (z))/(h)

Sabemos que

f^' (z) = (1)/(z)

Então substituindo, ficamos com

(1)/(z) = underset(h -> 0)(lim) (ln (z + h) - ln (z))/(h)

Usando as propriedades do logaritmo, temos que

(1)/(z) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(h) * ln ((z + h)/(z)))

(1)/(z) = underset(h -> 0)(lim) (ln ((z + h)/(z))^((1)/(h)))

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Passando a exponencial em ambos os lados, ficamos com

e^((1)/(z)) = e^(underset(h -> 0)(lim) (ln ((z + h)/(z))^((1)/(h))))

Pela propriedade do limite, podemos dizer que

e^((1)/(z)) = underset(h -> 0)(lim) e^((ln ((z + h)/(z))^((1)/(h))))

Daí

e^((1)/(z)) = underset(h -> 0)(lim) ((z + h)/(z))^((1)/(h))

Então

e^((1)/(z)) = underset(h -> 0)(lim) (1 + (h)/(z))^((1)/(h))

Agora, chamaremos

x = (1)/(z) e n = (1)/(h)

Com isso, sabemos que quando h -> 0 temos que n -> oo

Substituindo h por n no nosso limite, ficamos com

e^x = underset(n -> oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n

Portanto, está provado.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

e^x = underset(n -> oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n

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