Calcule a integral ∫ x 1 + x 3 .

Passo 1

Opa! Chegou a hora de calcular a seguinte integral:

∫ x 1 + x 3   d x

Para isso vamos utilizar integral por substituição, fazendo:

u = x

d u = 1 2 x d x

d x = 2 x d u = 2 u   d u

Passo 2

Pondo as novas variáveis na função da integral:

∫ x 1 + x 3   d x = ∫ u 1 + u 6 2 u d u

∫ u 1 + u 6 2 u d u

2 ∫ u 2 1 + ( u 3 ) 2 d u

Passo 3

Vamos precisar fazer outra substituição, dessa vez fazendo:

t = u 3

d t = 3 u 2 d u

Voltando a integral agora em função de t:

2 ∫ 1 1 + t 2 1 3 d t

Agora ficou bom porque essa integral é tabelada. Resolvendo a integral, ficamos:

2 ∫ 1 1 + t 2 1 3 d t = 2 3 t g - 1 t + C

Passo 4

Agora voltamos a varável inicial x:

2 3 t g - 1 u 3 + C = 2 3 t g - 1 x 3 + C

Resposta

∫ x 1 + x 3   d x = 2 3 t g - 1 x 3 + C

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