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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 43

Calcule a integral int_()^() (sqrt(x))/(1 + x^3) .

Passo 1

Opa! Chegou a hora de calcular a seguinte integral:

int_()^() (sqrt(x))/(1 + x^3) d x

Para isso vamos utilizar integral por substituição, fazendo:

u = sqrt(x)

d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x

d x = 2 sqrt(x) d u = 2 u d u

Passo 2

Pondo as novas variáveis na função da integral:

int_()^() (sqrt(x))/(1 + x^3) d x = int_()^() (u)/(1 + u^6) (2 u) d u

int_()^() (u)/(1 + u^6) (2 u) d u

2 int_()^() (u^2)/(1 + ( u^3 )^2) d u

Passo 3

Vamos precisar fazer outra substituição, dessa vez fazendo:

t = u^3

d t = 3 u^2 d u

Voltando a integral agora em função de t:

2 int_()^() (1)/(1 + t^2) ((1)/(3)) d t

Agora ficou bom porque essa integral é tabelada. Resolvendo a integral, ficamos:

2 int_()^() (1)/(1 + t^2) ((1)/(3)) d t = (2)/(3) t g^(- 1) (t) + C

Passo 4

Agora voltamos a varável inicial x:

(2)/(3) t g^(- 1) (u^3) + C = (2)/(3) t g^(- 1) (sqrt(x^3)) + C

Resposta

int_()^() (sqrt(x))/(1 + x^3) d x = (2)/(3) t g^(- 1) (sqrt(x^3)) + C

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