Use a desigualdade min f' ≤ (f(b) - f(a)) / (b - a) ≤ max f' para estimar f(0,1) se f'(x) = 1 / (1 + (x^4 * cos^4(x))) para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f(0) = 1 .

Passo 1

Utilizando a desigualdade apresentada queremos uma estimativa para f ( 0.1 ) , com a função f^' (x) e a condição inicial dada.

Passo 2

Para analisarmos o comportamento da função dentro do intervalo, vamos observar a segunda derivada que é

f ' ( x ) = ( 1 + x^4 cos^4 x )^(- 1)

f " ( x ) = ( 1 + x^4 cos^4 x )^(- 2) * ( 4 x ³ * c o s x + x^4 * s e n x )

Plotando o gráfico de f " ( x ) dentro do intervalo [ 0,0.1 ] temos

a função está decrescendo.

Passo 3

Como temos f " ( x ) decrescendo nesse intervalo nós podemos fazer estimativas para f^' (x) com os valores extremos do intervalo. Assim,

min f^' tildetilde 0.999

m ax f^' tildetilde 1

0 . 999 <= (f (0.1) - f (0))/(0.1) <= 1

0.999 <= (f (0.1) - 1)/(0.1) <= 1

(0.999) * (0.1) <= f (0.1) - 1 <= 1 * 0.1

0.0999 <= f (0.1) - 1 <= 0 . 1

1.0999 <= f (0.1) <= 1 . 1

Resposta

:. 1.0999 <= f (0.1) <= 1.1

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