A média geométrica de dois números positivos a e b é o número . Demonstre que o valor de c na conclusão do teorema do valor médio para em um intervalo de números positivos [a, b] é c = .

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

Para a parte esquerda da nossa equação precisamos apenas substituir valores, no entanto, para o lado direito da nossa equação precisaremos derivar e aplicar para sabermos quanto vale .

Podemos reescrever como sendo e dessa forma aplicar a derivação de polinômios que nos diz que se . Dessa forma, para o nosso exemplo .

Por fim, basta substituirmos todos os valores que possuímos e manipular algebricamente para chegar na demonstração que desejamos. Então, finalmente

Para o numerador do lado esquerdo tiraremos o mmc ficando com:

Substituindo em obtemos

Multiplicando cruzado vamos obter

Efetuando a distributiva do com o lado direito da expressão, obtemos

Como temos em ambos os lados da expressão podemos simplificar nossa expressão dividindo ambos os lados por que a expressão não se altera. Assim,

Passando pro outro lado multiplicando teremos

Por fim, aplicaremos a raiz quadrada em ambos os lados obtendo

Como o problema especificou que o intervalo trata de números positivos podemos descartar a hipótese de termos . Então, finalmente chegamos a conclusão que