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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 78

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

78-

y ' = x - 4 5 ( x + 1 )

Passo 1

Escrevendo a equação de outra forma nós temos:

y ' = x + 1 x 4 5

Fazendo y ' = 0 encontramos somente o ponto x = - 1 como ponto crítico e sabemos que em x = 0 a função tem crescimento máximo

Passo 2

Fazendo a derivada da função para podermos testar o ponto crítico que encontramos no passo anterior:

y ' ' = x + 1 ' x 4 5 - x + 1 x 4 5 ' x 8 5 = 1 x 4 5 - x + 1   4 5 x - 1 5   x 8 5

y ' ' = x 4 5 - 4 5 x 4 5 - 4 5 x - 1 5 x 8 5 = 1 5 x 4 5 - 4 5 x - 1 5 x 8 5

O que nos dá:

y ' ' = 1 5 x - 4 5 - 4 5 x - 9 5 = 1 5 x - 9 5 ( x - 4 )

Passo 3

Pela equação de y ' ' vemos que a equação tem ponto de inflexão em x = 4 e que pode haver uma mudança de concavidade em x = 0 mesmo.

Agora testando x = - 1 que foi o ponto crítico que encontramos no passo 1 temos:

y ' ' - 1 = 1 5 × - 1 - 9 5 × - 1 - 4 = 1 → p o s i t i v o

O que nos dá um ponto de mínimo local em x = - 1 .

Passo 4

Pontos de teste: -2, -0.5, 1, 5.

Resposta

y ' ' = 1 5 x - 9 5 ( x - 4 )

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