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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 42

Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de a r c s e n   0,52 com três casas decimais.

Passo 1

A questão pede para usarmos diferenciais para calcular a r c s e n   0,52 . Para isso temos que lembrar o que são diferenciais. Se temos uma função f ( x ) , podemos aproximar uma pequena variação Δ f = f x - f ( x 0 ) quando ocorre uma pequena variação Δ x = x - x 0 por

Δ f ≈ f ' x 0   Δ x

Assim, temos que

f x ≈ f x 0 + f ' x 0   ( x - x 0 )

Neste caso, vamos chamar f x = a r c s e n   x e como x = 0,52 , vamos usar escolher um x 0 próximo e conveniente. Como a r c s e n   0,5 = π / 6 , vamos usar x 0 = 0,5 , assim f x 0 = π / 6 . Portanto,

f 0,52 ≈ π 6 + f ' 0,5   0,52 - 0,5 = π 6 + 0,02 ⋅ f ' ( 0,5 )

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) :

f ' x = a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2

Assim, usando x 0 = 0,5 :

f ' 0,5 = 1 1 - 1 2 2 = 1 1 - 1 4 = 2 3

Assim,

f 0,52 ≈ π 6 + 2 3 ⋅ 0,02 = π 6 + 0,04 3 ≈ 0,547

Portanto, temos que

a r c s e n   0,52 = 0,547

Resposta

0,547

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56-O que há de especial nas funções f x = sin - 1 ⁡ 1 x 2 + 1 E g x = t g - 1 1 x Explique
55-O que há de especial nas funções f x = sin - 1 ⁡ x - 1 x + 1 ,x ≥ 0 g x = 2 t g - 1 x Explique:
57-Determine os valores de:b) cossec - 1 ⁡ - 1.5
57-Determine os valores de:a) sec - 1 ⁡ 1.5
57-Determine os valores de:c) cotg - 1 ⁡ 2