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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 55

55-

O que há de especial nas funções

f (x) = sin^(- 1) ((x - 1)/(x + 1)) , x >= 0

g (x) = 2 t g^(- 1) (sqrt(x))

Explique:

Passo 1

Meio difícil falar o que as duas funções tem de especial sem tirar do contexto que o capítulo se trata de derivada de funções trigonométricas inversas e sem ver seu gráfico. Logo temos aqui os gráficos das funções.

Logo para x > 0 temos o mesmo comportamento da função. A função f ( x ) é proporcional ao g ( x ) , logo vamos derivar as duas funções .

Passo 2

Derivando f ( x )

f = sin^(- 1) ((x - 1)/(x + 1))

Podemos escrever a expressão da seguinte forma:

sin f = (x - 1)/(x + 1)

Derivando em relação a x ((d f)/(d x)) nos dois lados da equação nós teremos:

cos f xx (d f)/(d x) = ((x - 1)^' (x + 1) - ( x - 1 ) ( x + 1 ) ')/((x + 1)^2)

Fazendo a regra do produto temos:

cos f xx (d f)/(d x) = (2)/((x + 1)^2)

Como não temos cos f precisamos achar-lo com o que temos que é sin f :

cos^2 x + sin^2 f = 1

cos f = sqrt(1 - sin^2 f)

cos f = sqrt(1 - ((x - 1)/(x + 1))^2)

cos f = sqrt((4 x)/((x + 1)^2))

Substituindo:

(d f)/(d x) = (2)/((x + 1)^2) xx (x + 1)/(sqrt(4 x))

Como x >= 0 , x + 1 nunca pode ser 0 então podemos cortar.

(d f)/(d x) = (2)/(2 sqrt(x) ( x + 1 ))

(d f)/(d x) = (1)/(sqrt(x) ( x + 1 ))

Passo 3

Derivando g ( x )

g = 2 t g^(- 1) (sqrt(x))

Podemos escrever essa equação da seguinte forma:

(g)/(2) = t g^(- 1) (sqrt(x))

t g ((g)/(2)) = sqrt(x)

Agora derivando em relação a x essa equação:

(1)/(2) xx (d g)/(d x) xx sec^2 ((g)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

(d g)/(d x) = (1)/(sqrt(x) xx sec^2 ((g)/(2)))

Precisa-se substituir a sec^2 ((g)/(2)) :

sin^2 ((g)/(2)) + cos^2 ((g)/(2)) = 1

Dividindo por ((g)/(2)) :

t g^2 ((g)/(2)) + 1 = sec^2 ((g)/(2))

Substituindo:

(d g)/(d x) = (1)/(sqrt(x) xx ( 1 + x ))

Passo 4

Logo tanto a função g como a função f tem a mesma derivada, só que f tem uma constante negativa atrelada a ela que é de:

f (0) = sin^(- 1) ( - 1 )

Ou

sin f (0) = - 1 -> f (0) = - (pi)/(2)

Resposta

As duas funções tem a mesma função derivada, a diferença é que f ( x ) começa com a coordenada y , - (pi)/(2) abaixo de g ( x )

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