Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 56
56-
O que há de especial nas funções
E
Explique
Passo 1
Assim como na questão 55 fica difícil dizer o que há em comum entre elas sem tirar do contexto que estamos no capítulo de derivadas de funções trigonométricas inversas e sem olhar seus gráficos. Começando pelos seus gráficos nós temos:
Pelo gráfico conseguimos ver que para as funções se comportam da mesma forma enquanto para as funções são reflexo uma da outra no eixo x.
Passo 2
Fazendo a derivada em relação a de temos:
Como não sabemos o valor de e sim o do iremos utilizar a relação fundamental para substituir:
Substituindo
Passo 3
Agora derivando a função g nós temos:
Derivando a função em relação a nos dois lados nós temos:
Precisamos substituir :
Dividindo a equação por temos:
Como
Substituindo:
Para diferente de 0, podemos cortar:
Passo 4
Vimos que as duas funções tem a mesma função derivada mas vamos testar a diferença entre ambos para e .
Vamos utilizar
Logo as duas funções para positivo são iguais.
Para
Logo para temos a função negativo mas com mesmo módulo que a função
Resposta
As duas funções tem a mesma derivada, porém elas são iguais para positivo e refletidas em no eixo para negativo.