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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 39

a) Use as equações explícitas y1(x) e y2(x) da equação de Legendre e escolhas apropriadas de c0 e c1 para encontrar os polinômios de Legendre P6 (x) e P7(x).

b) Escreva as equações diferenciais explícitas para as quais P6(x) e P7(x) são soluções particulares.

Passo 1

a) Se olharmos na página 315 do livro, podemos encontrar as fórmulas que nos auxiliarão a chegar nos resultados. Nós temos:

y 1 = c 0 ∑ n = 0 ∞ 2 n ! n + 2 ! x n ,   x < ∞   e   y 2 = c 2 x - 2 ∑ n = 2 ∞ 2 n - 2 ! n ! x n

Passo 2

Pensando nisso, temos que, pelas equações explícitas, os polinômios de 6 e 7 graus serão:

P 6 x = 2 32 231 x 6 - 2 32 315 x 4 + 2 32 105 x 2 - 2 32 5 = 1 16 ( 231 x 6 - 315 x 4 + 105 x 2 - 5 )

Concluindo, encontramos o polinômio de grau 6:

P 6 x = 1 16 ( 231 x 6 - 315 x 4 + 105 x 2 - 5 )

Passo 3

O mesmo será feito para o polinômio de grau 7:

P 7 x = 2 32 429 x 7 - 2 32 693 x 5 + 2 32 315 x 3 - 2 32 35 x = 1 16 ( 429 x 7 - 693 x 5 + 315 x 3 - 3 5 x )

E encontramos também o polinômio de grau 7:

P 7 x = 1 16 ( 429 x 7 - 693 x 5 + 315 x 3 - 35 x )

Pronto! Encontramos os dois polinômios desejados!

Passo 4

b) Para encontrarmos as equações diferenciais explícitas, sabendo que temos equações particulares, nós devemos pensar em soluções que satisfaçam as equações encontradas. Assim, teremos que o polinômio de grau 6 satisfaz:

1 - x 2   y ' ' - 2 x y ' + 42 y = 0  

E o polinômio de grau 7 satisfaz:

1 - x 2   y ' ' - 2 x y ' + 56 y = 0  

Resposta

a) P 6 x = 1 16 ( 231 x 6 - 315 x 4 + 105 x 2 - 5 ) e P 7 x = 1 16 ( 429 x 7 - 693 x 5 + 315 x 3 - 35 x )

b)

1 - x 2   y ' ' - 2 x y ' + 42 y = 0   e   1 - x 2   y ' ' - 2 x y ' + 56 y = 0  

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2. Encontre a solução de u x ,y da equação de Laplace no retângulo 0xa , 0yb , que satisfaz as condições de contorno u 0 ,y = 0 , u a ,y = 0 , 0yb , u x , 0 = h x , u x ,b = 0 , 0 ≤ x ≤ a .
Use o problema 43 para mostrar que P n 1 = 1eP n - 1 = - 1 n
Use explicitamente os polinômios de Legendre P0(x), P1(x), P2(x) e P3(x) para calcular ∫ - 1 1 P n 2 x d x ,n = 0 ,1 ,2e3 . Generalize o resultado.
Use a relação de recorrência e P0(x)=1, P1(x)=x para os próximos cinco polinômios de Legendre.