Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 45

Use a relação de recorrência e P0(x)=1, P1(x)=x para os próximos cinco polinômios de Legendre.

Passo 1

A relação de concorrência pode ser escrita como:

P k + 1 x = 2 k + 1 k + 1 x   P k x - k k + 1 P k - 1 x ,   k = 2,3 , 4 , …

Como pede o exercício, iremos substituir os valores de k, sendo, k=1, k=2, k=3, k=4 e k=5.

Passo 2

Vamos substituir:

P/ k=1:

P 2 x = 2 * 1 + 1 1 + 1 x * x - 1 1 + 1 * 1 = 3 2 x 2 - 1 2

Logo,

P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2

Vamos fazer o mesmo para os outros 4 valores de k:

P/ k=2

P 3 x = 2 * 2 + 1 2 + 1 x * 3 2 x 2 - 1 2 - 2 2 + 1 * x = 5 3 x 3 - 3 2 x

Logo,

P 3 x = 5 3 x 3 - 3 2 x

P/ k=3

P 4 x = 2 * 3 + 1 3 + 1 x * 5 3 x 3 - 3 2 x - 3 3 + 1 * 3 2 x 2 - 1 2 = 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

Logo,

P 4 x = 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

P/ k=4

P 5 x = 2 * 4 + 1 4 + 1 x * 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8 - 4 4 + 1 * 5 3 x 3 - 3 2 x = 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x

Logo,

P 5 x = 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x

P/ k=5

P 6 x = 2 * 5 + 1 5 + 1 x * 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x - 5 5 + 1 * 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

P 6 x = 231 16 x 6 - 315 16 x 4 + 105 16 x - 5 16

Resposta

Para k=1, P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2

Para k=2, P 3 x = 5 3 x 3 - 3 2 x

Para k=3, P 4 x = 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

Para k=4, P 5 x = 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x

Para k=5, P 6 x = 231 16 x 6 - 315 16 x 4 + 105 16 x - 5 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre podem ser escritos como P n = ∑ k = 0 [ n 2 ] - 1 k 2 n - 2 k ! 2 n k! n - k ! n - 2 k !x n - 2 k Em que [k/2] é o maior inteiro menor ou igual a n/2. Verifique esse fato par
Os polinômios de Legendre são gerados pela fórmula de Rodrigues*. Verifique isso para n=0, 1, 2 e 3.
Use a série binomial para mostrar formalmente que 1 - 2 x t + t 2 - 1 2 =∑ n = 0 ∞ P n x t n .
Use explicitamente os polinômios de Legendre P0(x), P1(x), P2(x) e P3(x) para calcular ∫ - 1 1 P n x P m xd x , p a r an ≠ m . Generalize o resultado.
Mostre que a equação s e nθ d 2 y d θ ²+ cos ⁡ θ d y d θ + n n + 1 s e n θ y = 0 ² Pode ser transformada na equação de Legendre através da substituição x = cos θ.