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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 45

Use a relação de recorrência e P0(x)=1, P1(x)=x para os próximos cinco polinômios de Legendre.

Passo 1

A relação de concorrência pode ser escrita como:

P k + 1 x = 2 k + 1 k + 1 x   P k x - k k + 1 P k - 1 x ,   k = 2,3 , 4 , …

Como pede o exercício, iremos substituir os valores de k, sendo, k=1, k=2, k=3, k=4 e k=5.

Passo 2

Vamos substituir:

P/ k=1:

P 2 x = 2 * 1 + 1 1 + 1 x * x - 1 1 + 1 * 1 = 3 2 x 2 - 1 2

Logo,

P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2

Vamos fazer o mesmo para os outros 4 valores de k:

P/ k=2

P 3 x = 2 * 2 + 1 2 + 1 x * 3 2 x 2 - 1 2 - 2 2 + 1 * x = 5 3 x 3 - 3 2 x

Logo,

P 3 x = 5 3 x 3 - 3 2 x

P/ k=3

P 4 x = 2 * 3 + 1 3 + 1 x * 5 3 x 3 - 3 2 x - 3 3 + 1 * 3 2 x 2 - 1 2 = 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

Logo,

P 4 x = 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

P/ k=4

P 5 x = 2 * 4 + 1 4 + 1 x * 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8 - 4 4 + 1 * 5 3 x 3 - 3 2 x = 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x

Logo,

P 5 x = 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x

P/ k=5

P 6 x = 2 * 5 + 1 5 + 1 x * 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x - 5 5 + 1 * 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

P 6 x = 231 16 x 6 - 315 16 x 4 + 105 16 x - 5 16

Resposta

Para k=1, P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2

Para k=2, P 3 x = 5 3 x 3 - 3 2 x

Para k=3, P 4 x = 35 8 x 4 - 30 8 x 2 + 3 8

Para k=4, P 5 x = 63 8 x 5 - 35 4 x 3 + 15 8 x

Para k=5, P 6 x = 231 16 x 6 - 315 16 x 4 + 105 16 x - 5 16

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