Enunciado

Use explicitamente os polinômios de Legendre P0(x), P1(x), P2(x) e P3(x) para calcular ∫ - 1 1 P n 2 x d x ,   n = 0 ,   1 ,   2   e   3 . Generalize o resultado.

Passo 1

Nós queremos encontrar a integral ∫ - 1 1 P n 2 x d x , certo? No exercício 46, nós encontramos os seguintes valores para os polinômios:

P 0 x = 0

P 1 x = x

P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2  

P 3 x = 5 2 x 3 - 3 2 x

Agora vamos substituir e calcular as integrais desejadas!

Passo 2

Para P 0 x = 0 , temos:

∫ - 1 1 P 0 2 x d x = ∫ - 1 1 0 x d x = 1 - - 1 = 2

Para P 1 x = x , temos:

∫ - 1 1 P 1 2 x d x = ∫ - 1 1 x 2 d x = x 3 3 | - 1   a   1 = 1 3 2 - - 1 3 2 = 2 3

Para P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2   , temos:

∫ - 1 1 P 2 2 x d x = ∫ - 1 1 1 4 9 x 4 - 6 x 2 + 1 d x = 9 x 5 5 - 6 x 3 3 + x   | - 1   a   1 = 9 * 1 5 5 - 2 * 1 3 + 1 - 9 * - 1 5 5 - 2 * ( - 1 ) 3 + - 1 = 2 5

Para P 3 x = 5 2 x 3 - 3 2 x , temos:

∫ - 1 1 P 3 2 x d x = ∫ - 1 1 1 4 25 x 6 - 30 x 4 + 9 x 2 d x = 25 x 7 7 - 30 x 5 5 + 9 x 3 3   ,   | - 1   a   1 = 25 * 1 7 7 - 30 * 1 5 5 + 9 * 1 3 3 - 25 ( - 1 ) 7 7 - 30 ( - 1 ) 5 5 + 9 ( - 1 ) 3 3 = 2 7

Passo 3

Assim, em geral, conseguimos concluir que

∫ - 1 1 P n 2 x d x = 2 2 n + 1 ,   p a r a   n = 0 ,   1 ,   2 , … .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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