2. Encontre a solução de da equação de Laplace no retângulo , , que satisfaz as condições de contorno

Beleza, agora vamos fazer, como sempre, a separação de variáveis.

Procuramos uma solução do tipo . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:

Agora nós passamos tudo que tem para um lado e o que tem para o outro:

Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser iguais a uma constante. Separando em duas equações, temos:

Aplicando a separação de variáveis para as condições homogêneas do problema (a função nós deixamos por último):

Então, temos o seguinte:

Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Como a função é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em , temos:

Temos a seguinte equação característica:

Vamos ver as soluções caso a caso agora.

Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Substituindo

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:

As soluções do 3º caso são então do tipo:

Tendo os valores de , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

Já vimos que , não é? Quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

Então, as soluções da EDO em são:

Aplicando a condição :

Chegamos então a:

Então, podemos escrever o seguinte:

Escrever como série e achar os coeficientes da série

Como as combinações lineares de também são soluções do problema, temos que:

Agora vamos usar a condição que faltou:.

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está no colchete! O que depende apenas de (não de ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:

Repare que o período da extensão é , não . Por isso apareceram esses ’s na integral, tome cuidado. O veio do denominador do seno.

Dessa forma, encontramos os coeficientes da série e substituímos em