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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 18

Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .

y = x^4

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + Delta x)^4 - x^4)/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + Delta x)^4 - x^4)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + Delta x)^2 (x + Delta x)^2 - x^4)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) ((x^2 + 2 x Delta x + Delta x^2) (x^2 + 2 x Delta x + Delta x^2) - x^4)/(Delta x) = = underset(Delta x -> 0)(lim) (x^4 + 2 x^3 Delta x + x^2 Delta x^2 + 2 x^3 Delta x + 4 x^2 Delta x^2 + x^2 Delta x^2 + 2 x Delta x^3 + Delta x^4 - x^4)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (2 x^3 Delta x + x^2 Delta x^2 + 2 x^3 Delta x + 4 x^2 Delta x^2 + x^2 Delta x^2 + 2 x Delta x^3 + Delta x^4)/(Delta x)

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (2 x^3 Delta x + x^2 Delta x^2 + 2 x^3 Delta x + 4 x^2 Delta x^2 + x^2 Delta x^2 + 2 x Delta x^3 + Delta x^4)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) 2 x^3 + x^2 Delta x + 2 x^3 + 4 x^2 Delta x + x^2 Delta x + 2 x Delta x^2 + Delta x^3 =

= 2 x^3 + x^2 * 0 + 2 x^3 + 4 x^2 * 0 + x^2 * 0 + 2 x * 0^2 + 0^3 = 2 x^3 + 2 x^3 = 4 x^3

Resposta

(d y)/(d x) = 4 x^3

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