Use a Fórmula |12| para encontrar dy / dx .

y = x^4

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

d y d x = lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ y ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Passo 2

Vamos então aplicar:

d y d x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 4 - x 4 ∆ x

Agora vamos manipular o limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 4 - x 4 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 2 x + ∆ x 2 - x 4 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - x 4 ∆ x = = lim ∆ x → 0 ⁡ x 4 + 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2 + 2 x 3 ∆ x + 4 x 2 ∆ x 2 + x 2 ∆ x 2 + 2 x ∆ x 3 + ∆ x 4 - x 4 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2 + 2 x 3 ∆ x + 4 x 2 ∆ x 2 + x 2 ∆ x 2 + 2 x ∆ x 3 + ∆ x 4 ∆ x

E por último vamos cancelar o termo ∆ x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2 + 2 x 3 ∆ x + 4 x 2 ∆ x 2 + x 2 ∆ x 2 + 2 x ∆ x 3 + ∆ x 4 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 3 + x 2 ∆ x + 2 x 3 + 4 x 2 ∆ x + x 2 ∆ x + 2 x ∆ x 2 + ∆ x 3 =

= 2 x 3 + x 2 ⋅ 0 + 2 x 3 + 4 x 2 ⋅ 0 + x 2 ⋅ 0 + 2 x ⋅ 0 2 + 0 3 = 2 x 3 + 2 x 3 = 4 x 3

Resposta

d y d x = 4 x 3

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