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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 35

Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das coordenadas x   dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, encontre (aproximadamente) o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada por essas curvas.

y = 2 + x 2   cos ⁡ x ,     y = x 4 + x + 1

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos duas curvas y = 2 + x 2   cos ⁡ x e y = x 4 + x + 1 e nosso objetivo é encontrar os pontos de intersecção entre elas e o volume do solido formado pela rotação da area formada...

Tem ideia de como fazemos isso? 😐

Para determinar os pontos em x que as curvas se tocam, podemos igualas as equações como y 1 = y 2 .

Já para determinar o volume do solido a partir de sua revolução, usamos o método dos discos...

Veja só! 😁

Passo 2

O gráfico formado é o seguinte:

Fazendo y = y , temos

2 + x 2   cos ⁡ x = x 4 + x + 1

x 4 - x 2 cos ⁡ x + x = 1

A duas funções se interceptam nos pontos x = a ≈ - 1.288 e x = b ≈ 0.884 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora calculamos o volume da supoerficie de revolução pelo método dos discos, ou seja

V = π ∫ a b r 1 - r 2 d x

No caso, r 1 = 2 + x 2   cos ⁡ x que é a curva maior e r 2 = x 4 + x + 1 que é a curva menor

V = π ∫ a b 2 + x 2   cos ⁡ x - x 4 + x + 1 d x

V = π ∫ - 1.288 0.884 2 + x 2   cos ⁡ x - x 4 + x + 1 d x

Calculando essa integral, temos

V ≈ 23.780

E aí! O que achou? Responde Aí! 😊

Resposta

V ≈ 23.780

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42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
A região delimitada pelas curvas y = e - 1 x , y = 0 , x = 1 e x = 5 é girada em torno do eixo x . Use a Regra de Simpson com n = 8 para estimar o volume do sólido resultante.
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y = 1 x 2 + 3 x + 2 de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:a) eixo x ;
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y = 1 x 2 + 3 x + 2 de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:b) eixo y ;