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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 66b

Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva

y = 1 x 2 + 3 x + 2

de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:

b) eixo y ;

Passo 1

Precisamos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo y . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas:

V = ∫ a b 2 π x y   d x

Assim,

V = 2 π ∫ 0 1 x x 2 + 3 x + 2 d x

Fatorando o denominador: x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) , de modo que

V = 2 π ∫ 0 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 )   d x

Essa integral será calculando usando frações parciais.

Passo 2

Fazendo a decomposição:

x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = A x + 1 + B x + 2

Assim,

A x + 2 + B x + 1 = A + B x + 2 A + B = x

Portanto,

A + B = 1 2 A + B = 0

Resolvendo esse sistema, obtemos A = - 1 e B = 2 . Portanto,

∫ 0 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 )   d x = ∫ 0 1 - 1 x + 1 + 2 x + 2 d x = 2 ln ⁡ x + 2 - ln ⁡ x + 1 0 1

Assim,

∫ 0 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 )   d x = 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 2 = 2 ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 8 = ln ⁡ 9 8

Portanto,

V = 2 π ln ⁡ 9 8

Resposta

2 π ln ⁡ 9 8

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