Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 57
(a) Use um gráfico de para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.
(b) Use um gráfico de para uma estimativa melhor.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho como você?
Bom, essa questão dá pra gente a função:
E pede pra gente responder a dois itens.
No item (a) teremos que usar o gráfico de para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.
E para responder a esse item, precisamos saber que o ponto de inflexão em um gráfico é o lugar onde a função muda o sentido de sua concavidade.
No item (b) devemos usar um gráfico de para uma estimativa melhor.
E para isso devemos saber que se é negativa, então possui concavidade para baixo, se é positiva, então possui concavidade para cima e se é nula, temos um ponto de inflexão.
Agora que já sabemos o que fazer, bora resolver essa questão juntinhos.
Passo 2
No Item (a) temos o gráfico de , dado por:
Então a concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de
e
E concavidade para baixo em
, e
Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em
, , e
e isso são estimativas de acordo com o gráfico.
Passo 3
Item b, teremos o gráfico de .
Lembrando que
Teremos as derivas
E
E plotando seu gráfico, teremos:
E podemos ver que:
Se
então possui concavidade para baixo
se
então possui concavidade para cima
se
temos um ponto de inflexão.
Assim, a concavidade é:
voltada para cima nos intervalos aproximados em
e
E concavidade para baixo em:
, e
Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em
, , e .
E prontinho. Questão resolvida.
Resposta
(a) A concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de e . E concavidade para baixo em , e . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em , , e .
(b) A concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de e e a concavidade é para baixo em , e . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em , , e .