(a) Use um gráfico de para estimar os valores máximo e mínimo. Então, encontre os valores exatos.

(b) Estime o valor de em que cresce mais rapidamente. Então, encontre o valor exato.

Letra (a): Valores máximo e mínimo de

Para encontrar os pontos críticos:

- Derivamos a função para encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe.

- A função dada é

- Usamos a regra do produto para derivar

- Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Como para qualquer temos:

Avaliar nos pontos críticos e nos limites do domínio:

- Como tende a zero muito rapidamente à medida que aumenta, também tende a zero quando

- Verificamos os limites quando e

Para a função não é definida (já que explode para infinito enquanto é uma parabólica crescente).

Portanto, o valor máximo exato é e o valor mínimo exato é.

Letra (b): Estimar o valor de em que cresce mais rapidamente

- Observando o gráfico, podemos ver que cresce mais rapidamente próximo ao ponto de inflexão da função antes de atingir o valor máximo.

Para encontrar o ponto de inflexão:

- O ponto onde a função cresce mais rapidamente está relacionado com a concavidade da função. Encontramos isso pela segunda derivada.

- Derivamos a primeira derivada

- Igualamos a segunda derivada a zero para encontrar os pontos de inflexão:

Resolvemos a equação quadrática:

- Entre esses pontos, , analisamos a concavidade para determinar onde a função cresce mais rapidamente. para e para

Portanto, a função cresce mais rapidamente em torno de .