Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 50
(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .
Passo 1
Oieee bora resolver mais uma juntinho comigo?
Simbora, moçadinhaaa
Vamos analisar a função
Para encontrar suas assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(a) Assíntotas Verticais e Horizontais
Para verificar se há assíntotas verticais, procuramos valores de que fazem o denominador da função ser zero.
No entanto, o denominador nunca é zero, pois para todo .
Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, avaliamos o comportamento da função conforme e .
- Quando :
- Quando :
Portanto, as assíntotas horizontais são
Passo 2
(b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a derivada de
Usamos a regra do quociente para derivar:
A derivada
É sempre positiva porque e para todo .
Portanto, é crescente em todo o domínio, ou seja, para .
Passo 3
(c) Valores Máximos e Mínimos Locais
Como a derivada é sempre positiva, não há pontos críticos onde a derivada seja zero. Portanto, a função não tem máximos ou mínimos locais.
Passo 4
(d) Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão
Para encontrar a concavidade da função, calculamos a segunda derivada de
Primeiro, derivamos novamente
Usamos a regra do quociente novamente para a segunda derivada:
Calculando cada termo:
Portanto,
Simplificando:
A segunda derivada muda de sinal quando ou seja,
Portanto, a concavidade muda neste ponto, indicando um ponto de inflexão em
- Para
- Para
Passo 5
(e) Esboço do Gráfico de
Com base nas informações obtidas:
- Assíntotas horizontais:
- A função é crescente em todo o domínio.
- Não há máximos ou mínimos locais.
- Concavidade muda em
Podemos esboçar o gráfico da função:
1. Para
2. Para
3. A função é crescente e tem um ponto de inflexão em mudando de concavidade para baixo para concavidade para cima.
Neste esboço, a curva se aproxima de para e de para sendo sempre crescente e tendo um ponto de inflexão em
Resposta
Vide o passo a passo.