(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f(x) = e^x / (1 + e^x)

Passo 1

Oieee bora resolver mais uma juntinho comigo?

Simbora, moçadinhaaa

Vamos analisar a função f x = e x 1 + e x

Para encontrar suas assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

(a) Assíntotas Verticais e Horizontais

Para verificar se há assíntotas verticais, procuramos valores de x que fazem o denominador da função ser zero.

No entanto, o denominador 1 + e x nunca é zero, pois e x > 0 para todo x .

Portanto, não há assíntotas verticais.

Assíntotas Horizontais:

Para encontrar assíntotas horizontais, avaliamos o comportamento da função conforme x → ∞ e x → - ∞ .

- Quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ e x 1 + e x

= lim x → ∞ ⁡ 1 1 e x + 1 = 1 0 + 1 = 1  

- Quando x ��� - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ e x 1 + e x

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 e x + 1 = 0 1 + 0 = 0

Portanto, as assíntotas horizontais são ( y   =   1 )   e   ( y   =   0 ) .

Passo 2

(b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento

Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a derivada de f ( x )

f x = e x 1 + e x

Usamos a regra do quociente para derivar:

f ' x = 1 + e x ⋅ e x - e x ⋅ e x 1 + e x 2

= e x 1 + e x - e x 1 + e x 2 = e x 1 + e x 2

A derivada

e x 1 + e x 2

É sempre positiva porque e x > 0 e 1 + e x 2 para todo x .

Portanto, f ( x ) é crescente em todo o domínio, ou seja, para x ∈ ( - ∞ ,   ∞ ) .

Passo 3

(c) Valores Máximos e Mínimos Locais

Como a derivada f ' ( x ) é sempre positiva, não há pontos críticos onde a derivada seja zero. Portanto, a função não tem máximos ou mínimos locais.

Passo 4

(d) Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão

Para encontrar a concavidade da função, calculamos a segunda derivada de f x .

Primeiro, derivamos novamente f ' x :

f ' ( x )   =   e x 1 + e x 2

Usamos a regra do quociente novamente para a segunda derivada:

f ' ' x = 1 + e x 2 ⋅ e x ' - e x ⋅ 1 + e x 2 ' 1 + e x 2 2

Calculando cada termo:

1   +   e x 2 ⋅ e x ' =   2 1   +   e x ⋅ e x ⋅ e x +   1   +   e x 2 ⋅ e x

=   2 e 2 x ( 1   +   e x ) +   e x 1   +   e x 2

1   +   e x 2 ' =   2 1   +   e x ⋅ e x

Portanto,

f ' ' x = 2 e 2 x 1 + e x + e x 1 + e x 2 - e x ⋅ 2 1 + e x ⋅ e x 1 + e x 4

Simplificando:

f ' ' x = 2 e 2 x + 2 e 3 x + e x + 2 e 2 x + e 3 x - 2 e 3 x - 2 e 4 x 1 + e x 4

= 2 e 2 x + 2 e 2 x - e 3 x 1 + e x 4

= e x 1 - e x 1 + e x 3

A segunda derivada f ' ' ( x ) muda de sinal quando e x = 1 , ou seja, x = 0 .

Portanto, a concavidade muda neste ponto, indicando um ponto de inflexão em x = 0 .

- Para ( x   <   0 ) :

f ' ' x < 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

- Para ( x   >   0 ) :

f ' ' x > 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

Passo 5

(e) Esboço do Gráfico de f ( x )

Com base nas informações obtidas:

- Assíntotas horizontais: ( y   =   0 )   e   ( y   =   1 )

- A função é crescente em todo o domínio.

- Não há máximos ou mínimos locais.

- Concavidade muda em ( x   =   0 ) .

Podemos esboçar o gráfico da função:

1. Para x → - ∞ ,   f x → 0 .

2. Para x → ∞ ,   f x → 1 .

3. A função é crescente e tem um ponto de inflexão em x = 0 , mudando de concavidade para baixo para concavidade para cima.

Neste esboço, a curva se aproxima de y = 0 , para x → - ∞ ,   e de y = 1 , para x → ∞ ,   sendo sempre crescente e tendo um ponto de inflexão em x = 0 .

Resposta

Vide o passo a passo.

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