Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 45
Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a margem esquerda na página com sugestões para gráficos de sequências).
45-
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo tranquilo?
Vamos entender o que nossa questão pede:
Primeiro precisamos analisar pelo gráfico da nossa sequência se seus valores vão se aproximar de um numero fixo, ou seja, se vão convergir. Podemos usar o software GeoGebra para plotar esse gráfico.
Também com base no gráfico vamos estimar o valor do limite, que vai ser o valor para o qual a sequência está tendendo. Por fim, para provar nossa estimativa, vamos precisar de fato calcular e ver se bate com nossa estimativa inicial. Lembrando que se esse limite existir, a série converge, caso contrário, a série diverge.
Para resolver o limite usaremos o Teorema do Confronto.
OBS: A nota da página 704 que o enunciado cita é só uma sugestão de como plotar gráficos em sistemas algébricos utilizando equações paramétricas.
Passo 2
Analisando os termos da nossa sequência, temos:
Para :
Para :
Para :
E assim sucessivamente para os demais termos.
Plotando o gráfico dessa sequência temos:
Por ele conseguimos ver que existe um pico bem breve, mas depois ela se estabiliza em zero bem rapidamente.
Ou seja, podemos dizer que a série parece convergir para 0 através do gráfico.
Passo 3
Agora vamos para a parte de provar nossa afirmativa calculando para qual valor a sequência realmente converge.
Sabemos que a forma geral do fatorial é:
Abrindo o fatorial no denominador nós teremos:
Agora vemos que podemos dividir o nosso numerador pelo do nosso denominador. Assim ficamos com:
A estratégia aqui é que vamos analisar apenas os primeiros temos do fatorial, por que ela representa uma sequência com números maiores que a própria sequência completa (Podemos ver pelo gráfico que os primeiros termos são bem maiores que os demais, que vão cada vez mais se aproximando de 0). Assim, podemos encontrar uma sequência mais simples que seja maior ou igual a para todo .
Também sabemos pelo gráfico que nossa sequência tem termos sempre maiores que 0, então:
Passo 4
Relembrando do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):
O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.
Basicamente:
se e , então
A mesma lógica do Teorema que é usada para funções contínuas, podemos aplicar para séries.
Ou seja, vamos precisar calcular o limite da nossa sequência maior que chamaremos de
Passo 5
Dividindo o numerador e o denominador por nós teremos:
Agora aplicando o limite tendendo a infinito nessa sequência nós teremos:
Pelo Teorema do confronto:
Logo, Também tenderá a zero, pelo Teorema do Confronto.
Resposta
Converge para zero. .