Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 44

Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a margem esquerda na página com sugestões para gráficos de sequências).

44-

Passo 1

Pelo gráfico dessa função nós teremos:

A impressão que dá é que a medida que cresce a amplitude tende a diminuir e que essa sequência mesmo que oscilante tenderá para zero.

Passo 2

Uma maneira simples de ver que essa série converge, é jogar valores cada vez mais altos de enquanto o numerador oscila entre zero e um, o denominador vai aumentando até chegar a um ponto que será infinito, logo a sequência tenderá a zero, mesmo com a oscilação, uma boa é comparar a a série que tem um numerador maior e que converge, logo pela comparação:

Se a série que tem valores maiores que ela converge, logo a menor também converge, assim como:

Resposta

Converge para zero.

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Teoria e exemplos: Prove que a sequência { a n } converge para 0 se, e somente se, a sequência de valores absolutos { | a n | } converge para 0 .