Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = sen(x) + raiz(3) \* cos(x), -2pi <= x <= 2pi

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio foi dado pelo enunciado: - 2 π ≤ x ≤ 2 π
  2. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 3 . Para y = 0 ,   t e m o s :
  3. 0 = sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x

    tan ⁡ x = 3

    Logo, as raizes são x = - 4 3 π ,   - π 3 , 2 3 π   e 5 3 π   .

  4. Checando simetria:
  5. f - x ≠ f x → - sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x ≠ sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x

    f - x ≠ - f x → - sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x ≠ - sin ⁡ x - 3 cos ⁡ x

    Mas como temos uma função trigonométrica, ela é periódica a cada 2 π .

  6. Por ser uma função de seno e cosseno, não há assíntotas.
  7. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  8. f ' x > 0 → c r e s c e n t e

    f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f ' x = cos ⁡ x - 3 sin ⁡ x

    Crescente:

    f ' x > 0 → cos ⁡ x - 3 sin ⁡ x > 0

    tan ⁡ x < 1 3

    f ' x > 0 → x   ∈ - 2 π ,   - 11 6 π   e   - 5 6 π , π 6  

    Decrescente:

    f ' x < 0 → cos ⁡ x - 3 sin ⁡ x < 0

    tan ⁡ x > 1 3

    f ' x < 0 → x   ∈ - 11 6 π , - 5 6 π   e   π 6 , 7 6 π      

  9. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .
  10. S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

    S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

    Vamos lá:

    f ' ' x = - sin ⁡ x - 3 cos ⁡ x

    Nas raízes de f ' x → x = - 11 6 π ,   - 5 6 π ,     π 6 ,   7 6 π :

    f ' ' - 11 6 π = - 1 2 - 3 3 2 = - 2 → p o n t o   d e   m á x i m o

    f ' ' - 5 6 π = - - 1 2 - 3 - 3 2 = 2 → p o n t o   d e   m í n i m o

    f ' ' π 6 = - 1 2 - 3 3 2 = - 2 → p o n t o   d e   m á x i m o

    f ' ' 7 6 π = - - 1 2 - 3 - 3 2 = 2 → p o n t o   d e   m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f - 11 6 π = 2 → p o n t o   d e   m á x i m o

    f - 5 6 π = - 2 → p o n t o   d e   m í n i m o

    f π 6 = 2 → p o n t o   d e   m á x i m o

    f 7 6 π = - 2 → p o n t o   d e   m í n i m o

  11. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f ' ' x = - sin ⁡ x - 3 cos ⁡ x

- sin ⁡ x - 3 cos ⁡ x > 0

tan ⁡ x < - 3

f ' ' x > 0 → x   ∈ - 4 3 π , - π 3   e   2 3 π , 5 3 π

- sin ⁡ x - 3 cos ⁡ x < 0

tan ⁡ x < - 3 > 0

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 2 π , - 4 3 π ,   - π 3 , 2 3 π   e   5 3 π ,   - π 3

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - 4 3 π , - π 3   e   2 3 π , 5 3 π

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 2 π , - 4 3 π ,   - π 3 , 2 3 π   e   5 3 π ,   - π 3

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = - 4 π 3 ,   - π 3 , 2 π 3   e 5 π 3

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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