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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 37

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = sin x + sqrt(3) cos x , - 2 pi <= x <= 2 pi

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio foi dado pelo enunciado: - 2 pi <= x <= 2 pi
  2. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = sqrt(3) . Para y = 0 , t e m o s :

    3. 0 = sin x + sqrt(3) cos x

    tan x = sqrt(3)

    Logo, as raizes são x = - (4)/(3) pi , - (pi)/(3) , (2)/(3) pi e (5)/(3) pi .

  3. Checando simetria:

    4. f (- x) != f (x) -> - sin x + sqrt(3) cos x != sin x + sqrt(3) cos x

    f (- x) != - f (x) -> - sin x + sqrt(3) cos x != - sin x - sqrt(3) cos x

    Mas como temos uma função trigonométrica, ela é periódica a cada 2 pi .

  4. Por ser uma função de seno e cosseno, não há assíntotas.
  5. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

    6. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = cos x - sqrt(3) sin x

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> cos x - sqrt(3) sin x > 0

    tan x < (1)/(sqrt(3))

    f^' (x) > 0 -> x in (- 2 pi , - (11)/(6) pi) e (- (5)/(6) pi , (pi)/(6))

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> cos x - sqrt(3) sin x < 0

    tan x > (1)/(sqrt(3))

    f^' (x) < 0 -> x in (- (11)/(6) pi , - (5)/(6) pi) e ((pi)/(6) , (7)/(6) pi)

  6. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .

    7. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = - sin x - sqrt(3) cos x

    Nas raízes de f^' (x) -> x = - (11)/(6) pi , - (5)/(6) pi , (pi)/(6) , (7)/(6) pi :

    f^(' ') (- (11)/(6) pi) = - ((1)/(2)) - sqrt(3) ((sqrt(3))/(2)) = - 2 -> p o n t o d e m á x i m o

    f^(' ') (- (5)/(6) pi) = - (- (1)/(2)) - sqrt(3) (- (sqrt(3))/(2)) = 2 -> p o n t o d e m í n i m o

    f^(' ') ((pi)/(6)) = - ((1)/(2)) - sqrt(3) ((sqrt(3))/(2)) = - 2 -> p o n t o d e m á x i m o

    f^(' ') ((7)/(6) pi) = - (- (1)/(2)) - sqrt(3) (- (sqrt(3))/(2)) = 2 -> p o n t o d e m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f (- (11)/(6) pi) = 2 -> p o n t o d e m á x i m o

    f (- (5)/(6) pi) = - 2 -> p o n t o d e m í n i m o

    f ((pi)/(6)) = 2 -> p o n t o d e m á x i m o

    f ((7)/(6) pi) = - 2 -> p o n t o d e m í n i m o

  7. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f^(' ') (x) = - sin x - sqrt(3) cos x

- sin x - sqrt(3) cos x > 0

tan x < - sqrt(3)

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- (4)/(3) pi , - (pi)/(3)) e ((2)/(3) pi , (5)/(3) pi)

- sin x - sqrt(3) cos x < 0

tan x < - sqrt(3) > 0

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- 2 pi , - (4)/(3) pi) , (- (pi)/(3) , (2)/(3) pi) e ((5)/(3) pi , - (pi)/(3))

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- (4)/(3) pi , - (pi)/(3)) e ((2)/(3) pi , (5)/(3) pi)

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- 2 pi , - (4)/(3) pi) , (- (pi)/(3) , (2)/(3) pi) e ((5)/(3) pi , - (pi)/(3))

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = - (4 pi)/(3) , - (pi)/(3) , (2 pi)/(3) e (5 pi)/(3)

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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