Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada por

y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:

Domínio: Conjunto de todos os valores de (   x   ) para os quais a função f x é definida.

Interseções com os Eixos:

- Eixo x : Onde (   f ( x )   =   0   ) .

- Eixo y : Onde (   x   =   0   ) , ou seja, f ( 0 )

Simetria:

- Função Par: (   f - x =   f x ) .

- Função Ímpar:   (   f - x =   - f x ) .

Assíntotas:

- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.

- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme (   x → ± ∞ ) .

Derivadas e Comportamento da Função:

- Primeira Derivada f ' x : Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.

- Segunda Derivada f ' ' x : Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.

Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).

Concavidade e Pontos de Inflexão:

- Concavidade para cima: (   f ' ' x >   0   ) .

- Concavidade para baixo: (   f ' ' x <   0   ) .

- Pontos de Inflexão: Onde (   f ' ' x =   0   )   e muda de sinal.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real:

D f = R

Legal, né? 😁

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x 3 + 6 x 2 + 9 x = 0

x   x 2 + 6 x + 9 = 0

x   x + 3 2 = 0

As raízes da função são x = 0 e x = - 3 . Assim, as interseções com os eixos ocorrerão em ( 0,0 ) e ( - 3,0 ) .

Note que y tem expoentes pares e ímpares de x , assim ela não é nem par nem ímpar. A função não tem nenhum tipo de simetria.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 4

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 6 x 2 + 9 x = - ∞

lim x → ∞ ⁡ x 3 + 6 x 2 + 9 x = + ∞

Bora continuar! 😉

Passo 5

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y ' = 3 x 2 + 12 x + 9

y ' = 3   x 2 + 4 x + 3

y ' = 3   x + 1 ( x + 3 )

*Para obtermos x 2 + 4 x + 3 = x + 1 ( x + 3 ) , basta resolver a equação x 2 + 4 x + 3 = 0 . As raízes da equação são - 1 e - 3 , de modo que x 2 + 4 x + 3 = x - - 1 x - - 3 .

Desta forma,

Assim, x = - 3 é ponto de máximo local e x = - 1 é ponto de mínimo local. Note que f - 3 = 0 e f - 1 = - 4 .

Mínimo local: ( - 1 , - 4 ) ; máximo local: ( - 3,0 ) .

Interessante, né? 😇

Passo 6

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 6 x + 12 = 6   ( x + 2 )

Assim,

Como f - 2 = - 2 , o ponto ( - 2 , - 2 ) é um ponto de inflexão.

E finalmente, esboçando a curva, temos...

E aí! o que achou? Responde Aí! 👀

Resposta

Esboço da curva:

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